几何群论笔记

几何群论笔记（一）：概览及群论回顾

1 Bass–Serre Theory 概览

1.1 动机

群 \(G\) 作用于树 \(T\)，可以对其取商图 \(G\backslash T\) 得到 graph of groups, 进而可以考虑其基本群 \(\pi _1(\text {graph of groups})\)。Bass-Serre Theory 某种意义上发现，这个过程可以逆回去（参看图 1）。

Figure 1: general idea of Bass-Serre Theory

1.2 历史

1.2.1 融合积

给定单同态 \(f_1:A\to G_1\)、\(f_2:A\to G_2\)，令共同子群的两个像相等，得到

\[ G_1*_A G_2= \langle G_1,G_2\mid f_1(a)=f_2(a),\ a\in A\rangle . \]

此处用整个群作生成元的简写包含 \(G_1\)、\(G_2\) 各自已有的关系。记自然映射为 \(j_i:G_i\to G_1*_A G_2\)，则 \(j_1\circ f_1=j_2\circ f_2\)。

融合积有如下泛性质（参看图 2）：对任意群 \(H\) 及同态 \(u_i:G_i\to H\)，若 \(u_1\circ f_1=u_2\circ f_2\)，就存在唯一同态 \(u:G_1*_A G_2\to H\)，使得 \(u\circ j_i=u_i\)（\(i=1,2\)）。

van Kampen 定理设 \(X=X_1\cup X_2\)、\(A=X_1\cap X_2\)，且 \(X_1,X_2,A\) 路径连通。包含映射诱导 \(i_{j*}:\pi _1(A)\to \pi _1(X_j)\)，有

\[ \pi _1(X)\cong \langle \pi _1(X_1),\pi _1(X_2)\mid i_{1*}(a)=i_{2*}(a),\ a\in \pi _1(A)\rangle , \]

在诱导映射是单射时就是 \(\pi _1(X_1) *_{\pi _1(A)} \pi _1(X_2)\).

1.2.2 HNN 扩张

设 \(A_1,A_2\leq G\) 且 \(f:A_1\to A_2\) 是同构。问题是能否将 \(G\) 放入更大的群，使这两个子群通过 \(f\) 共轭。引入稳定字母 \(t\)，构造

\begin{equation} \Gamma =\langle G,t\mid tat^{-1}=f(a),\ a\in A_1\rangle . \label {eq:ggt-hnn} \end{equation}

这称为 HNN 扩张。

HNN 定理每个可数群都可嵌入一个由两个元素生成的群。

1.3 应用

1.3.1 自由积到直积的核

自然同态

\[ G_1*G_2\longrightarrow G_1\times G_2 \]

的核为自由群。

1.3.2 RAAG 的多自由性质

RAAGs are (normally)-poly-free。

给定无环边、无重边的图 \(\Lambda \)，右角 Artin 群（RAAG）定义为

\[ A_\Lambda =\langle V(\Lambda )\mid vw=wv\text {，当 }v,w\text { 由一条边相连}\rangle . \]

排除环边和重边；只有两个顶点、一条连接边的图给出如下例子：

\[ A_\Lambda =\langle v,w\mid vw=wv\rangle \cong \mathbb Z^2. \]

多自由群与正规多自由群若存在有限序列

\[ 1=G_0\triangleleft G_1\triangleleft \cdots \triangleleft G_m=G, \]

使每个 \(G_i/G_{i-1}\) 都是自由群，则称 \(G\) 为多自由群（poly-free）。若还可要求每个 \(G_i\triangleleft G\)，则称为正规多自由群（normally poly-free）。

1.3.3 Ihara 定理

\(\operatorname {SL}_2(\mathbb Q_p)\) 的每个离散无挠子群都是自由群。

2 群论回顾

2.1 自同构、内自同构与外自同构

对群 \(G\)，定义

\[ \operatorname {Aut}(G)=\{\varphi :G\to G\mid \varphi \text { 是同构}\}, \]

\[ \operatorname {Inn}(G)=\{\varphi _h:h\in G\},\quad \varphi _h(g)=hgh^{-1},\qquad \operatorname {Out}(G)=\operatorname {Aut}(G)/\operatorname {Inn}(G). \]

例如

\[ \operatorname {Aut}(\mathbb Z^n)=\operatorname {GL}_n(\mathbb Z) =\{(a_{ij}):a_{ij}\in \mathbb Z,\ \det (a_{ij})=\pm 1\}. \]

2.2 生成子群与有限生成

设 \(S\subset G\)，则

\[ \langle S\rangle _G= \{s_1\cdots s_m:s_i\in S\cup S^{-1},\ m\geq 0\}. \]

空乘积为单位元。如果 \(\langle S\rangle _G=G\)，称 \(S\) 生成 \(G\)；若存在有限的这样的 \(S\)，称 \(G\) 有限生成。例如，加法群 \(\mathbb Z=\langle 1\rangle \)，而 \((\mathbb Q,+)\) 不是有限生成群。

2.3 自由群的构造

设 \(X\) 为符号集合。字是由 \(X\cup X^{-1}\) 中符号组成的有限序列。若没有相邻的 \(xx^{-1}\) 或 \(x^{-1}x\)，称字为约化字。任意字通过消去这样的相邻逆元对，可以得到唯一的约化字。

令 \(F(X)\) 为所有约化字组成的集合。其乘法是拼接两个字，再约化：

\[ u\cdot v=\operatorname {red}(uv). \]

单位元是空字。逆元通过倒转字序并逐项取逆给出：

\[ (x_1^{\varepsilon _1}\cdots x_m^{\varepsilon _m})^{-1} =x_m^{-\varepsilon _m}\cdots x_1^{-\varepsilon _1},\qquad \varepsilon _i\in \{1,-1\}. \]

\(F(X)\) 称为由 \(X\) 自由生成的自由群。

例子. 由一个字母 \(a\) 自由生成的群同构于 \(\mathbb Z\)；由 \(\{a,b\}\) 自由生成的群是秩为 \(2\) 的自由群 \(F_2\)。

2.4 正规闭包与群的表示

2.4.1 正规生成与正规闭包

设 \(S\subset G\)。包含 \(S\) 的最小正规子群称为 \(S\) 的正规闭包，记作 \(\langle \!\langle S\rangle \!\rangle _G\)。它可以写为

\[ \langle \!\langle S\rangle \!\rangle _G =\{s_1^{g_1}\cdots s_m^{g_m}:m\geq 0,\ g_i\in G,\ s_i\in S\cup S^{-1}\}, \qquad s^g:=gsg^{-1}. \]

这里采用原稿的共轭指数约定。

例子若 \(G\) 交换，则 \(\langle \!\langle S\rangle \!\rangle _G=\langle S\rangle _G\)。在 \(G=F_2=\langle a,b\rangle \) 中，

\[ \langle \!\langle a\rangle \!\rangle _G =\langle b^iab^{-i}:i\in \mathbb Z\rangle . \]

2.4.2 群的表示

对集合 \(A\)，记 \(A^*\) 为 \(A\) 中符号组成的有限字集合。自由群的元素可以用 \((X\cup X^{-1})^*\) 中的字表示。注意，元素实际上是约化字，这是一个方便但并不严谨的记法。

设 \(R\subset (X\cup X^{-1})^*\)。定义

\begin{equation} \langle X\mid R\rangle :=F(X)/\langle \!\langle R\rangle \!\rangle _{F(X)}. \label {eq:ggt-presentation} \end{equation}

这是由 \(X\) 生成、满足 \(R\) 中关系的群；\(R\) 中每个字被规定等于单位元。

例子

\(F(X)=\langle X\mid \varnothing \rangle \)。
\(\mathbb Z\cong \langle a\mid \varnothing \rangle \)。
\(\mathbb Z/n\mathbb Z\cong \langle a\mid a^n\rangle \)。
\(\mathbb Z^2\cong \langle a,b\mid aba^{-1}b^{-1}\rangle \)。
\(\operatorname {SL}_2(\mathbb Z)\cong \langle S,T\mid S^4=1,\ S^2=(ST)^3\rangle \)。

2.5 直积与半直积

2.5.1 直积

对群 \(G_1,G_2\)，直积的底集合为 \(G_1\times G_2=\{(g_1,g_2):g_i\in G_i\}\)，运算为

\[ (g_1,g_2)(g'_1,g'_2)=(g_1g'_1,g_2g'_2). \]

单位元为 \((1,1)\)，且 \((g_1,g_2)^{-1}=(g_1^{-1},g_2^{-1})\)。也可用表示写作

\[ G_1\times G_2=\langle G_1,G_2\mid g_1g_2=g_2g_1,\ g_i\in G_i\rangle , \]

其中仍隐含两个因子各自的关系。

2.5.2 半直积

设 \(N,Q\) 为群，\(\varphi :Q\to \operatorname {Aut}(N)\) 为同态。半直积 \(N\rtimes _\varphi Q\) 的底集合为 \(N\times Q\)，乘法定义为

\begin{equation} (n_1,q_1)(n_2,q_2) =\bigl (n_1\varphi (q_1)(n_2),q_1q_2\bigr ). \label {eq:ggt-semidirect} \end{equation}

把 \((n,q)\) 理解为乘积 \(nq\)，定义来自于计算:

\[ n_1q_1n_2q_2=n_1(q_1n_2q_1^{-1})q_1q_2, \qquad q_1n_2q_1^{-1}=\varphi (q_1)(n_2). \]

若 \(\varphi (q)=\operatorname {id}_N\) 对所有 \(q\) 成立，则半直积就是直积。

扩张和分裂扩张. 短正合列

\[ 1\longrightarrow N\xrightarrow {\iota }G\xrightarrow {\pi }Q\longrightarrow 1 \]

称为群扩张。若存在群同态 \(s:Q\to G\) 满足 \(\pi \circ s=\operatorname {id}_Q\)，称扩张分裂。

将 \(N\) 通过 \(\iota \) 看作 \(G\) 的子群，则

\[ G\cong N\rtimes _\varphi Q,\qquad \varphi (q)(n)=s(q)n s(q)^{-1}. \]

同构对应于 \((n,q)\mapsto n s(q)\)。

2.6 半直积的例子

2.6.1 二面体群

记有限二面体群为 \(D_n\)，其表示和半直积为

\[ D_n=\langle s,t\mid s^n=1,\ t^2=1,\ tst^{-1}=s^{-1}\rangle \cong (\mathbb Z/n\mathbb Z)\rtimes _\varphi (\mathbb Z/2\mathbb Z), \]

其中非平凡的作用元素将旋转生成元取逆。

无限二面体群为

\[ D_\infty =\langle s,t\mid tst^{-1}=s^{-1},\ t^2=1\rangle \cong \mathbb Z\rtimes _\varphi (\mathbb Z/2\mathbb Z). \]

2.6.2 自由阿贝尔群与整数群的半直积

\[ \mathbb Z^n\rtimes _\varphi \mathbb Z, \qquad \varphi :\mathbb Z\to \operatorname {Aut}(\mathbb Z^n). \]

2.6.3 点灯夫群

设 \(G\) 为群。考虑

\[ \bigoplus _{\mathbb Z}G =\{(g_n)_{n\in \mathbb Z}:g_n=1\text {，除有限多个 }n\text { 外}\}, \]

定义 \(Z\) 的平移作用

\[ \varphi :\mathbb Z\to \operatorname {Aut}\left (\bigoplus _{\mathbb Z}G\right ), \qquad \varphi (k)((g_n)_n)=(g_{n+k})_n. \]

定义点灯夫群

\[ G\wr \mathbb Z=\left (\bigoplus _{\mathbb Z}G\right )\rtimes _\varphi \mathbb Z. \]

取 \(G=\mathbb Z/2\mathbb Z\)，即通常的点灯夫群。

2.6.4 一般的花环积

对群 \(G,H\)，以 \(H\) 为指标构造 \(\bigoplus _HG\)，并令 \(H\) 按坐标置换作用，得到

\[ G\wr H=\left (\bigoplus _HG\right )\rtimes _\varphi H, \]

其中

\begin{equation} \varphi (h)((g_\alpha )_{\alpha \in H})=(g_{\alpha h})_{\alpha \in H}. \label {eq:ggt-wreath} \end{equation}

3 HW1

3.0.1 有理数加法群

证明 \((\mathbb Q,+)\) 不是有限生成群。

3.0.2 Baumslag–Solitar 群

设

\[ BS(1,2)=\langle a,t\mid tat^{-1}=a^2\rangle . \]

证明

\[ BS(1,2)\cong \mathbb Z[1/2]\rtimes _\varphi \mathbb Z, \]

其中

\[ \varphi :\mathbb Z\to \operatorname {Aut}(\mathbb Z[1/2]),\qquad \varphi (1)(x)=2x. \]

3.0.3 多自由性质

证明 \(\mathbb Z^n\rtimes \mathbb Z\) 是多自由群。它是否一定是正规多自由群？