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1 复欧氏空间
把实欧氏空间 \(\mathbb R^{2n}\) 的坐标写为 \(x=(x_1,\ldots ,x_n,y_1,\ldots ,y_n)\)，其中 \(y_\nu =x_{n+\nu }\)。引入
\[ z=(z_1,\ldots ,z_n),\qquad z_\nu =x_\nu +i y_\nu . \]
赋予这一复坐标的空间记为 \(\mathbb C^n\)。对 \(z,w\in \mathbb C^n\)、\(\alpha ,\beta \in \mathbb C\)，定义
\[ \alpha z+\beta w=(\alpha z_1+\beta w_1,\ldots ,\alpha z_n+\beta w_n), \qquad \langle z,w\rangle =\sum _{\nu =1}^n z_\nu \overline {w_\nu }. \]
若 \(w_\nu =\xi _\nu +i\eta _\nu \)，则
\[ z_\nu \overline {w_\nu }=x_\nu \xi _\nu +y_\nu \eta _\nu +i(y_\nu \xi _\nu -x_\nu \eta _\nu ),\qquad (z,w)_{\mathbb R}=\operatorname {Re}\langle z,w\rangle . \]
共轭为 \(\bar z=(\bar z_1,\ldots ,\bar z_n)\)，并且
\[ x_\nu =\frac {z_\nu +\bar z_\nu }{2},\qquad y_\nu =\frac {z_\nu -\bar z_\nu }{2i}. \]
一般实变量函数可写为
\(f(z,\bar z)\)，为简便也记作 \(f(z)\)。
1.1 复偏导数
对 \(C^1\) 函数定义
\begin{equation} \frac {\partial f}{\partial z_\nu } =\frac 12\left (\frac {\partial f}{\partial x_\nu }-i\frac {\partial f}{\partial y_\nu }\right ), \qquad \frac {\partial f}{\partial \bar z_\nu } =\frac 12\left (\frac {\partial f}{\partial x_\nu }+i\frac {\partial f}{\partial y_\nu }\right ). \label {eq:scv-wirtinger} \end{equation}
设 \(F=(f_1,\ldots ,f_m)\) 和 \(g=g(w_1,\ldots ,w_m)\) 为 \(C^1\) 映射，且 \(F\) 的像包含于 \(g\) 的定义域。链式法则为
\[ \frac {\partial (g\circ F)}{\partial z_\nu } =\sum _{j=1}^m\left (\frac {\partial g}{\partial w_j}\circ F\right )\frac {\partial f_j}{\partial z_\nu } +\sum _{j=1}^m\left (\frac {\partial g}{\partial \bar w_j}\circ F\right )\frac {\partial \bar f_j}{\partial z_\nu }, \]
\[ \frac {\partial (g\circ F)}{\partial \bar z_\nu } =\sum _{j=1}^m\left (\frac {\partial g}{\partial w_j}\circ F\right )\frac {\partial f_j}{\partial \bar z_\nu } +\sum _{j=1}^m\left (\frac {\partial g}{\partial \bar w_j}\circ F\right )\frac {\partial \bar f_j}{\partial \bar z_\nu }. \]
1.2 微分
写 \(f=u+iv\)。由 \(df=du+i\,dv\) 及 \(dx_\nu =(dz_\nu +d\bar z_\nu )/2\)、\(dy_\nu =(dz_\nu -d\bar z_\nu )/(2i)\)，有
\[ du=\frac 12\sum _\nu (u_{x_\nu }-iu_{y_\nu })\,dz_\nu +\frac 12\sum _\nu (u_{x_\nu }+iu_{y_\nu })\,d\bar z_\nu . \]
对 \(dv\) 作同样展开并合并，利用式 (1) 得到
\[ df=\sum _\nu \frac {\partial f}{\partial z_\nu }\,dz_\nu +\sum _\nu \frac {\partial f}{\partial \bar z_\nu }\,d\bar z_\nu =\partial f+\bar \partial f. \]
由 \(d^2=0\)，按微分形式的类型分解得
\[ \partial ^2=\bar \partial ^2=0,\qquad \partial \bar \partial =-\bar \partial \partial . \]
1.3 多复变中的两种邻域：球与多圆柱
定义
\[ B(a,r)=\{z\in \mathbb C^n:|z-a|<r\},\qquad P(a,\mathbf r)=\{z:|z_\nu -a_\nu |<r_\nu ,\ 1\leq \nu \leq n\}, \]
其中 \(\mathbf r=(r_1,\ldots ,r_n)\)、\(r_\nu >0\)。各半径相等时简记 \(P(a,r)\)。
注记
球与多圆柱在拓扑上同胚；一维时 Riemann 映射定理给出相应的双全纯同构， 而 Poincaré 发现二维单位球与双圆盘 \(\mathbb D\times \mathbb D\)
不双全纯同构。
2 全纯函数
设 \(\Omega \subset \mathbb C^n\) 为区域。若 \(f\in C(\Omega )\)，且固定其余变量后关于每个 \(z_\nu \) 都是一元全纯函数，称 \(f\) 全纯，记为 \(f\in \mathcal O(\Omega )\)。 对 \(f\in C^1(\Omega )\)，这等价于齐性 Cauchy–Riemann 方程
\[ \frac {\partial f}{\partial \bar z_\nu }=0\quad (1\leq \nu \leq n),\qquad \text {即 }\bar \partial f=0. \]
全纯映射的复合仍全纯。多项式 \(f(z)=\sum _{|\alpha |\leq N}a_\alpha z^\alpha \) 属于 \(\mathcal O(\mathbb C^n)\)。
2.1 Osgood 定理
定理. 设 \(f\) 关于每个复变量分别全纯，且局部有界，则 \(f\in \mathcal O(\Omega )\)。
证明
只需证明连续性。固定 \(w\in \Omega \)，取 \(P(w,2r)\Subset \Omega \)，令 \(M=\sup _{P(w,2r)}|f|<\infty \)。
Figure 1: \(z\in P(w,r)\subset P(w,2r)\Subset \Omega \)
对 \(z\in P(w,r)\)，置
\[ z^{(j)}=(w_1,\ldots ,w_j,z_{j+1},\ldots ,z_n),\quad z^{(0)}=z,\quad z^{(n)}=w. \]
于是
\[ f(z)-f(w)=\sum _{j=1}^n\bigl (f(z^{(j-1)})-f(z^{(j)})\bigr ). \]
若 \(M=0\) 结论显然。否则固定其余坐标，令
\[ h(\zeta )=w_j+r\zeta ,\quad \zeta \in \mathbb D, \]
\[ G(\zeta )=\frac {f(w_1,\ldots ,w_{j-1},h(\zeta ),z_{j+1},\ldots ,z_n) -f(w_1,\ldots ,w_j,z_{j+1},\ldots ,z_n)}{2M}. \]
则 \(G\in \mathcal O(\mathbb D)\), \(G(0)=0\), \(|G|\leq 1\)。由Schwarz 引理， \(|G(\zeta )|\leq |\zeta |\)。代入 \(\zeta =(z_j-w_j)/r\)，得
\[ |f(z^{(j-1)})-f(z^{(j)})|\leq \frac {2M}{r}|z_j-w_j|. \]
求和后
\begin{equation} |f(z)-f(w)|\leq \frac {2M}{r}\sum _{j=1}^n|z_j-w_j| \leq \frac {2nM}{r}|z-w|. \label {eq:scv-osgood} \end{equation}
因此 \(f\) 局部 Lipschitz
连续，从而全纯。
2.2 Hartogs 定理
Hartogs 定理. 若 \(f\) 关于每个复变量分别全纯，则 \(f\in \mathcal O(\Omega )\)。
实变量的分别解析不一定连续。例如
\[ f(x_1,x_2)=\begin {cases} \dfrac {x_1x_2}{x_1^2+x_2^2},&(x_1,x_2)\ne (0,0),\\ 0,&(x_1,x_2)=(0,0). \end {cases} \]
它关于各实变量分别实解析，却在原点不连续。
2.3 最大模原理
最大模原理. 设 \(\Omega \subset \mathbb C^n\) 为区域，\(f\in \mathcal O(\Omega )\) 非常数，则 \(|f|\) 不能在 \(\Omega \) 的内点取得全局最大值。
证明
反设最大模 \(M\) 在区域内取到，令
\[ E=\{z\in \Omega :|f(z)|=M\}. \]
由连续性，\(E\) 在 \(\Omega \) 中闭，且非空。取 \(c\in E\) 及 \(P(c,r)\Subset \Omega \)。 对 \(z_1\mapsto f(z_1,c_2,\ldots ,c_n)\) 使用一元最大模原理，得到该函数恒等于 \(f(c)\)。
再固定这一切片中的任一点，依次改变第二、第三直到第 \(n\) 个坐标，并重复同一论证。 这样便得到整个多圆柱上 \(f\equiv f(c)\)，特别地 \(P(c,r)\subset E\)。
Figure 2: 逐坐标用单变量的最大模原理
故 \(E\) 亦开。由 \(\Omega \) 连通，\(E=\Omega \)，上述逐坐标论证进一步表明 \(f\) 局部常数，从而在 \(\Omega \) 上常数，与假设矛盾。
3 Cauchy 积分公式与导数估计
3.1 Cauchy 积分公式
设 \(\mathbf r=(r_1,\ldots ,r_n)\)，记
\[ P(c,\mathbf r)=\prod _{\nu =1}^n D_{r_\nu }(c_\nu ),\qquad T(c,\mathbf r)=\prod _{\nu =1}^n\partial D_{r_\nu }(c_\nu ). \]
\(T(c,\mathbf r)\) 称为多圆柱的特征边界。
Cauchy 积分公式. 若 \(f\in \mathcal O(P(c,\mathbf r))\cap C(\overline {P(c,\mathbf r)})\)，则对 \(z\in P(c,\mathbf r)\)，
\begin{equation} f(z)=\frac 1{(2\pi i)^n}\int _{T(c,\mathbf r)} \frac {f(\zeta _1,\ldots ,\zeta _n)}{\prod _{\nu =1}^n(\zeta _\nu -z_\nu )}\, d\zeta _1\cdots d\zeta _n. \label {eq:scv-cauchy} \end{equation}
证明
先假定 \(f\) 在闭多圆柱的一个邻域全纯。反复使用单变量的 Cauchy 积分公式，先积分最后一个变量：
\[ \frac 1{(2\pi i)^n}\int _{T(c,\mathbf r)} \frac {f(\zeta )}{\prod _{\nu =1}^n(\zeta _\nu -z_\nu )}\,d\zeta =\frac 1{(2\pi i)^{n-1}}\int _{T(c',\mathbf r')} \frac {f(\zeta _1,\ldots ,\zeta _{n-1},z_n)} {\prod _{\nu =1}^{n-1}(\zeta _\nu -z_\nu )}\,d\zeta _1\cdots d\zeta _{n-1}. \]
这里 \(c'\)、\(\mathbf r'\) 表示前 \(n-1\) 个分量。继续积分，即得
\(f(z)\)。
一般地，给定 \(z\in P(c,\mathbf r)\)，取足够大的 \(k\)，令 \(\mathbf r^{(k)}=(r_1-1/k,\ldots ,r_n-1/k)\)，使 \(z\in P(c,\mathbf r^{(k)})\)。则
\[ f(z)=\frac 1{(2\pi i)^n}\int _{T(c,\mathbf r^{(k)})} \frac {f(\zeta )}{\prod _{\nu =1}^n(\zeta _\nu -z_\nu )}\,d\zeta . \]
令 \(k\to \infty \)，由闭多圆柱上的连续性即得式 (3)。
3.2 高阶复导数
对多重指标 \(\alpha =(\alpha _1,\ldots ,\alpha _n)\in \mathbb N_0^n\)，约定
\[ |\alpha |=\alpha _1+\cdots +\alpha _n,\quad \alpha !=\alpha _1!\cdots \alpha _n!,\quad f^{(\alpha )}=\frac {\partial ^{|\alpha |}f} {\partial z_1^{\alpha _1}\cdots \partial z_n^{\alpha _n}}. \]
对积分公式求导得
\begin{equation} f^{(\alpha )}(z)=\frac {\alpha !}{(2\pi i)^n} \int _{T(c,\mathbf r)}\frac {f(\zeta )} {\prod _{\nu =1}^n(\zeta _\nu -z_\nu )^{\alpha _\nu +1}}\,d\zeta _1\cdots d\zeta _n. \label {eq:scv-cauchy-derivatives} \end{equation}
命题. \(f^{(\alpha )}\in \mathcal O(P(c,\mathbf r))\)。
3.3 Cauchy 估计
记 \(\mathbf r^\alpha =\prod _\nu r_\nu ^{\alpha _\nu }\)，\(M=\sup _{P(c,\mathbf r)}|f|\)。则
\begin{equation} |f^{(\alpha )}(c)|\leq \frac {\alpha !}{\mathbf r^\alpha }M. \label {eq:scv-cauchy-estimate} \end{equation}
其中常数 \(\alpha !/\mathbf r^\alpha \) 不依赖于函数。
3.4 特征边界与 Shilov 边界
命题. 若 \(f\in \mathcal O(P(c,\mathbf r))\cap C(\overline {P(c,\mathbf r)})\)，则
\[ \max _{\overline {P(c,\mathbf r)}}|f| =\max _{T(c,\mathbf r)}|f|. \]
证明
对足够大的 \(k\)，\(f\) 在闭多圆柱 \(\overline {P(c,\mathbf r^{(k)})}\) 的一个邻域全纯。 逐步调整各分量，用单变量的最大模原理，得到
\[ \max _{\overline {P(c,\mathbf r^{(k)})}}|f| =\max _{T(c,\mathbf r^{(k)})}|f|. \]
令 \(k\to \infty \) 即可。
定义
设 \(\Omega \subset \mathbb C^n\) 为有界区域。在 \(\partial \Omega \) 中满足
\[ \max _E|f|=\max _{\overline \Omega }|f|, \qquad f\in \mathcal O(\Omega )\cap C(\overline \Omega ) \]
的最小闭集 \(E\)，称为 \(\Omega \) 的 Shilov 边界，记为 \(\partial _S\Omega \)。
例
单位球 \(B^n=B(0,1)\) 满足 \(\partial _S B^n=\partial B^n\)。
证明
固定 \(\xi \in \partial B^n\)。对 \(z\in \overline {B^n}\)，有
\[ \operatorname {Re}\langle z,\xi \rangle \leq 1, \qquad \operatorname {Re}\langle z,\xi \rangle =1\Longleftrightarrow z=\xi . \]
令 \(f_\xi (z)=\exp \langle z,\xi \rangle \in \mathcal O(\mathbb C^n)\)。则
\[ |f_\xi (z)|\leq e, \]
且仅在 \(z=\xi \) 处取等号，故 \(\xi \in \partial _S B^n\)。 于是 \(\partial B^n\subset \partial _S B^n\)，从而 \(\partial _S B^n=\partial B^n\)。
问题
多圆盘 \(\mathbb D^n\) 的 Shilov 边界是否就是其特征边界？
4 Weierstrass 定理与 Montel 定理
4.1 Weierstrass 定理
设 \(f_j\in \mathcal O(\Omega )\) 且 \(f_j\) 内闭一致收敛于 \(f\)，即在每个紧子集上一致收敛。 则 \(f\in \mathcal O(\Omega )\)，并且对每个多重指标 \(\alpha \)，
\[ f_j^{(\alpha )}\longrightarrow f^{(\alpha )} \quad \text {内闭一致收敛。} \]
证明
由于紧子集可由有限个多圆柱覆盖，只需考虑多圆柱。取 \(P(w,r)\Subset \Omega \)。 对 \(z\in P(w,r/2)\)，Cauchy 积分公式给出
\[ f_j(z)=\frac 1{(2\pi i)^n}\int _{T(w,r)} \frac {f_j(\zeta )}{\prod _{\nu =1}^n(\zeta _\nu -z_\nu )}\,d\zeta . \]
由 \(z\in P(w,r/2)\)，被积函数在积分边界上一致收敛。令 \(j\to \infty \)，得
\[ f(z)=\frac 1{(2\pi i)^n}\int _{T(w,r)} \frac {f(\zeta )}{\prod _{\nu =1}^n(\zeta _\nu -z_\nu )}\,d\zeta . \]
右端关于 \(z\) 全纯。高阶导数的内闭一致收敛同样由 Cauchy 积分公式得到。
4.2 Montel 定理
设函数族 \(\mathcal F\subset \mathcal O(\Omega )\) 内闭一致有界，即对每个紧集 \(K\Subset \Omega \)，
\[ \sup _{f\in \mathcal F}\sup _{z\in K}|f(z)|<\infty . \]
则 \(\mathcal F\) 中任意序列都有内闭一致收敛的子列。
证明
由 Arzelà–Ascoli 定理，只需证 \(\mathcal F\) 在每个紧集上等度连续。这包含于 Osgood 定理的证明中： 内闭一致有界给出
\[ |f(z)-f(w)|\leq \frac {2nM_f}{r}|z-w| \leq \frac {2nM}{r}|z-w|, \]
其中 \(M\)
为稍大多圆柱上对整个函数族统一的界。
4.3 Liouville 定理
若 \(f\in \mathcal O(\mathbb C^n)\) 且 \(|f|\leq M<\infty \)，则 \(f\) 是常数。
证明
固定 \(z\in \mathbb C^n\)，取足够大的 \(k\)，使 \(z\in P(0,k)\)。由 Cauchy 积分公式，
\[ f(z)-f(0)=\frac 1{(2\pi i)^n}\int _{T(0,k)}f(\zeta ) \left (\frac 1{\prod _\nu (\zeta _\nu -z_\nu )}- \frac 1{\prod _\nu \zeta _\nu }\right )\,d\zeta . \]
而在 \(T(0,k)\) 上，
\[ \frac 1{\prod _\nu (\zeta _\nu -z_\nu )}-\frac 1{\prod _\nu \zeta _\nu } =\frac {\prod _\nu \zeta _\nu -\prod _\nu (\zeta _\nu -z_\nu )} {\prod _\nu (\zeta _\nu -z_\nu )\prod _\nu \zeta _\nu } =O\!\left (\frac {k^{n-1}}{k^{2n}}\right ). \]
所以
\[ |f(z)-f(0)|=O(k^{-1})\longrightarrow 0, \]
即 \(f(z)=f(0)\)。
另证
固定 \(z\)，考虑一元整函数 \(\zeta \mapsto f(\zeta z)\)，再用单变量的 Liouville 定理。
5 全纯函数的幂级数展开
设 \(f\in \mathcal O(P(c,\mathbf r))\cap C(\overline {P(c,\mathbf r)})\)。则对 \(z\in P(c,\mathbf r)\)，
\begin{equation} f(z)=\sum _{\alpha \in \mathbb N_0^n}\frac {f^{(\alpha )}(c)}{\alpha !}(z-c)^\alpha , \label {eq:scv-taylor} \end{equation}
且级数内闭收敛。这里 \((z-c)^\alpha =\prod _\nu (z_\nu -c_\nu )^{\alpha _\nu }\)。
证明
对 \(\zeta \in T(c,\mathbf r)\)，将积分核的各分量作幂级数展开：
\[ \frac 1{\zeta _\nu -z_\nu } =\frac 1{\zeta _\nu -c_\nu }\sum _{m=0}^\infty \left (\frac {z_\nu -c_\nu }{\zeta _\nu -c_\nu }\right )^m. \]
乘起来并代入 Cauchy 积分公式，得到
\[ f(z)=\sum _{\alpha \in \mathbb N_0^n} \left [\frac 1{(2\pi i)^n}\int _{T(c,\mathbf r)} \frac {f(\zeta )}{\prod _\nu (\zeta _\nu -c_\nu )^{\alpha _\nu +1}}\,d\zeta \right ](z-c)^\alpha . \]
由高阶导数的积分公式即得式 (6)；根据 Cauchy
估计，上述级数内闭收敛。
6 唯一性定理与唯一集
唯一性定理. 设 \(\Omega \subset \mathbb C^n\) 为区域，\(f\in \mathcal O(\Omega )\)。若存在非空开集 \(U\subset \Omega \) 使 \(f|_U\equiv 0\)，则 \(f\equiv 0\) 于 \(\Omega \)。
证明
令
\[ E=\{z\in \Omega :f^{(\alpha )}(z)=0\text {，对所有 }\alpha \in \mathbb N_0^n\}. \]
各阶导数连续，故 \(E\) 闭；由 \(U\subset E\)，知 \(E\ne \varnothing \)。 若 \(c\in E\)，取 \(P(c,\mathbf r)\Subset \Omega \)。在此多圆柱上将 \(f\) 展开为 Taylor 级数，所有系数都是零，所以 \(f\) 在该多圆柱恒为零。
其各阶导数也为零，故 \(P(c,\mathbf r)\subset E\)。于是 \(E\) 开。由连通性 \(E=\Omega \)，从而 \(f\equiv 0\)。
6.1 唯一集
若 \(E\subset \Omega \) 满足：对任意 \(f\in \mathcal O(\Omega )\)，
\[ f|_E=0\Longrightarrow f\equiv 0\text { 于 }\Omega , \]
则称 \(E\) 为唯一集。
例 1
每个非空开子集都是唯一集。
例 2
单位多圆盘中的实切片
\[ E=\{z\in P(0,1):\operatorname {Im}z_j=0,\ 1\leq j\leq n\} \]
也是唯一集。
证明
若 \(f\in \mathcal O(P(0,1))\) 且 \(f|_E=0\)，写
\[ f(z)=\sum _\alpha c_\alpha z^\alpha . \]
在 \(E\) 上令 \(x=\operatorname {Re}z\)，则 \(\sum _\alpha c_\alpha x^\alpha =0\)，从而所有 \(c_\alpha =0\)，故 \(f\equiv 0\)。