多复变笔记

多复变笔记（二）：圆形域、Reinhardt 域与 Hartogs 延拓

1 Hurwitz 定理与 Vitali 定理

1.1 Hurwitz 定理

设 \(\Omega \subset \mathbb C^n\) 为区域，\(f_j,f\in \mathcal O(\Omega )\)，且 \(f_j\) 内闭一致收敛于 \(f\)。若每个 \(f_j^{-1}(0)=\varnothing \)，则

\[ f^{-1}(0)=\varnothing \quad \text {或}\quad f\equiv 0. \]

证明设 \(f\not \equiv 0\)。任取 \(c\in \Omega \)，取 \(B(c,r)\Subset \Omega \)。由唯一性定理，可取 \(b\in B(c,r)\)，使得 \(f(b)\ne 0\)。令 \(L\) 为过 \(b,c\) 的复直线：

\[ z=(1-\zeta )c+\zeta b=c+\zeta (b-c),\qquad \zeta \in \mathbb C. \]

考察单复变全纯函数

\[ F_j(\zeta )=f_j(c+\zeta (b-c)). \]

它们在包含 \(\overline {\mathbb D}\) 的一个圆盘中无零点，且内闭一致收敛于 \(F(\zeta )=f(c+\zeta (b-c))\)。由单复变 Hurwitz 定理，\(F\) 恒为零或无零点。因为 \(F(1)=f(b)\ne 0\)，所以 \(f(c)=F(0)\ne 0\)。故 \(f\) 无零点。

1.2 Vitali 定理

设 \(\{f_\nu \}\subset \mathcal O(\Omega )\) 内闭一致有界。若存在唯一集 \(E\subset \Omega \)，使得 \(\{f_\nu \}\) 在 \(E\) 上逐点收敛，则 \(\{f_\nu \}\) 在 \(\Omega \) 上内闭一致收敛。

证明反设 \(\{f_\nu \}\) 不内闭一致收敛。则存在紧集 \(K\Subset \Omega \)、\(\delta >0\)，趋于无穷的指标列 \(u_k,v_k\) 及 \(z_k\in K\)，使得

\[ |f_{u_k}(z_k)-f_{v_k}(z_k)|\ge \delta . \]

由 Montel 定理，取子列，仍记为 \(f_{u_k},f_{v_k}\)，使得

\[ f_{u_k}\longrightarrow f,\qquad f_{v_k}\longrightarrow g \]

内闭一致，且 \(f,g\in \mathcal O(\Omega )\)。由 Bolzano–Weierstrass 定理，再取子列使 \(z_k\to z_0\in K\)。

由 Osgood 定理证明中的估计，存在与 \(k\) 无关的 \(M\)，使得对充分大的 \(k\)，

\[ \begin {aligned} |f_{u_k}(z_k)-f_{u_k}(z_0)|&\le M|z_k-z_0|,\\ |f_{v_k}(z_k)-f_{v_k}(z_0)|&\le M|z_k-z_0|. \end {aligned} \]

于是

\[ \begin {aligned} |f(z_0)-g(z_0)|\ge {}&|f_{u_k}(z_k)-f_{v_k}(z_k)|\\ &-|f(z_0)-f_{u_k}(z_0)|-|f_{u_k}(z_0)-f_{u_k}(z_k)|\\ &-|f_{v_k}(z_k)-f_{v_k}(z_0)|-|f_{v_k}(z_0)-g(z_0)|. \end {aligned} \]

令 \(k\to \infty \)，得到 \(|f(z_0)-g(z_0)|\ge \delta >0\)。另一方面，对每个 \(c\in E\)，

\[ f(c)-g(c)=\lim _{k\to \infty }\bigl (f_{u_k}(c)-f_{v_k}(c)\bigr )=0. \]

由 \(E\) 是唯一集，\(f=g\) 于 \(\Omega \)，矛盾。

2 圆形域与 Reinhardt 域

2.1 定义与例子

设 \(\Omega \subset \mathbb C^n\) 为区域。

若 \(z\in \Omega \) 蕴含 \(e^{i\theta }z\in \Omega \)，对所有 \(\theta \in \mathbb R\) 成立，称 \(\Omega \) 为圆形域。
若 \(z\in \Omega \) 蕴含 \(\zeta z\in \Omega \)，对所有 \(\zeta \in \overline {\mathbb D}\) 成立，称 \(\Omega \) 为完备圆形域，也称平衡域。
若 \(z\in \Omega \) 蕴含
\[ (z_1e^{i\theta _1},\ldots ,z_ne^{i\theta _n})\in \Omega , \qquad \theta _j\in \mathbb R, \]
称 \(\Omega \) 为 Reinhardt 域。
若 \(z\in \Omega \) 蕴含
\[ (\zeta _1z_1,\ldots ,\zeta _nz_n)\in \Omega , \qquad \zeta _j\in \overline {\mathbb D}, \]
称 \(\Omega \) 为完备 Reinhardt 域。

例子

Reinhardt 域都是圆形域。以 \(0\) 为中心的球、多圆柱都是完备 Reinhardt 域。
Thullen 域
\[ \left \{z\in \mathbb C^n:|z_1|^{p_1}+\cdots +|z_n|^{p_n}<1\right \}, \qquad p_j>0, \]
是完备 Reinhardt 域。
区域
\[ \left \{z\in \mathbb C^2:|z_1|^2+|z_2|^{-1}<1\right \} \]
是 Reinhardt 域，但不包含 \(0\)，因而不完备。
令 \(P(z_1,z_2)=z_1^4+z_1z_2^3+z_2^4\)。区域
\[ \{z\in \mathbb C^2:|P(z)|<1\} \]
是完备圆形域，但不是 Reinhardt 域；而
\[ \left \{z\in \mathbb C^2:\frac 12<|P(z)|<1\right \} \]
是圆形域，但不是完备圆形域。

2.2 H. Cartan 定理

完备圆形域上的全纯函数可以展开为按齐次次数分组、内闭一致收敛的幂级数。 ¹

证明设 \(\Omega \) 为完备圆形域，\(f\in \mathcal O(\Omega )\)。因为 \(0\in \Omega \)，可取 \(P(0,r)\Subset \Omega \)，使得在其上有幂级数展开

\[ f(z)=\sum _\alpha a_\alpha z^\alpha =\sum _{j=0}^{\infty }\left (\sum _{|\alpha |=j}a_\alpha z^\alpha \right ). \]

记 \(P_j(z)=\sum _{|\alpha |=j}a_\alpha z^\alpha \)，它是 \(j\) 次齐次多项式。

任取 \(w\in \Omega \)，则 \(\zeta w\in \Omega \) 对 \(\zeta \in \overline {\mathbb D}\) 成立。将单复变函数展开为

\[ f(\zeta w)=\sum _{j=0}^{\infty }c_j(w)\zeta ^j. \]

当 \(|\zeta |\) 充分小时，\(\zeta w\in P(0,r)\)，从而

\[ f(\zeta w)=\sum _j P_j(\zeta w)=\sum _jP_j(w)\zeta ^j. \]

比较系数得 \(P_j(w)=c_j(w)\)。取 \(\zeta =1\)，便知 \(f=\sum _jP_j\) 在 \(\Omega \) 上逐点收敛。

再设 \(K\Subset \Omega \) 为紧集，令

\[ K'=\overline {\mathbb D}K =\{\zeta z:z\in K,\ \zeta \in \overline {\mathbb D}\}\Subset \Omega . \]

取充分接近 \(1\) 的 \(0<\delta <1\)，令

\[ K_\delta '=\delta ^{-1}K',\qquad K'\subset K_\delta '\Subset \Omega . \]

Figure 2: 紧集 \(K\)、平衡包 \(K'\) 与稍大的 \(K_\delta '\)。

对 \(w\in K\)、\(\eta \in \overline {\mathbb D}\)，有 \(\eta w/\delta \in K_\delta '\)，且

\[ f\left (\frac \eta \delta w\right ) =\sum _jP_j\left (\frac w\delta \right )\eta ^j =\sum _j\frac {P_j(w)}{\delta ^j}\eta ^j. \]

由 Cauchy 估计，

\[ \frac {|P_j(w)|}{\delta ^j}\le \sup _{K_\delta '}|f|=:M_\delta , \qquad |P_j(w)|\le M_\delta \delta ^j. \]

右端与 \(w\) 无关，所以 \(\sum _jP_j\) 在 \(K\) 上一致收敛于 \(f\)。

2.3 Reinhardt 域上的 Laurent 展开

设 \(\Omega \) 为 Reinhardt 域，则每个 \(f\in \mathcal O(\Omega )\) 可展开为内闭一致收敛的 Laurent 级数

\[ f(z)=\sum _{\alpha \in \mathbb Z^n}a_\alpha z^\alpha . \]

证明取 \(w\in \Omega \)，且每个 \(w_j\ne 0\)。由 Reinhardt 性质，

\[ \{z:|z_j|=|w_j|,\ 1\le j\le n\}\subset \Omega . \]

可取 \(0<\delta <\min _j|w_j|\)，使得多圆环

\[ A(w,\delta )=\{z:\bigl ||z_j|-|w_j|\bigr |<\delta ,\ 1\le j\le n\}\Subset \Omega . \]

由单复变 Laurent 展开，逐变量展开得到

\[ f(z)=\sum _{\alpha \in \mathbb Z^n}a_\alpha (w)z^\alpha , \]

其中

\[ a_\alpha (w)=\frac 1{(2\pi i)^n} \int _{|\zeta _1|=|w_1|}\cdots \int _{|\zeta _n|=|w_n|} \frac {f(\zeta _1,\ldots ,\zeta _n)} {\zeta _1^{\alpha _1+1}\cdots \zeta _n^{\alpha _n+1}} \,d\zeta _n\cdots d\zeta _1. \]

这一展开在多圆环内闭一致收敛。

对另一个坐标均非零的 \(w'\in \Omega \)，同样在 \(A(w',\delta ')\) 上展开。若两个多圆环相交，其交仍为 \(n\) 个圆环的乘积。逐变量使用 Cauchy 积分定理，得到 \(a_\alpha (w)=a_\alpha (w')\)。因此 \(a_\alpha (w)\) 局部常值；又

\[ \Omega \setminus \{w:w_1\cdots w_n=0\} \]

连通，所以 \(a_\alpha (w)\) 为常数。

3 Hartogs 延拓

3.1 Hartogs 图

取 \(0<r_1,r_2<1\)，令 \(\mathbb D_r=\{z\in \mathbb C:|z|<r\}\)，并设

\[ \Omega =(\mathbb D_{r_1}\times \mathbb D) \cup \bigl (\mathbb D\times (\mathbb D\setminus \overline {\mathbb D}_{r_2})\bigr ). \]

每个 \(f\in \mathcal O(\Omega )\) 都可唯一地全纯延拓到 \(\mathbb D^2\)。

Figure 4: Hartogs 图在 \((|z_1|,|z_2|)\) 平面中的表示。

证明取 \(r_2<r_3<1\)，定义

\[ \widetilde f_{r_3}(z_1,z_2) =\frac 1{2\pi i}\int _{|\zeta |=r_3} \frac {f(z_1,\zeta )}{\zeta -z_2}\,d\zeta , \qquad z_1\in \mathbb D,\ z_2\in \mathbb D_{r_3}. \]

它连续且关于 \(z_1,z_2\) 分别全纯，因而属于 \(\mathcal O(\mathbb D\times \mathbb D_{r_3})\)。由单复变 Cauchy 积分公式，

\[ \widetilde f_{r_3}=f\quad \text {于}\quad \mathbb D_{r_1}\times \mathbb D_{r_3}. \]

由唯一性定理，\(\widetilde f_{r_3}=f\) 于 \(\Omega \cap (\mathbb D\times \mathbb D_{r_3})\)。不同 \(r_3\) 所得函数在重叠处相等，让 \(r_3\uparrow 1\)，即得到所需延拓。

问题利用 Laurent 级数展开，是否也可以证明这个结论？

3.2 Hartogs 定理

设 \(n\ge 2\)，\(\Omega \subset \mathbb C^n\) 为区域，\(K\subset \Omega \) 为紧集，且 \(\Omega \setminus K\) 连通。则每个 \(f\in \mathcal O(\Omega \setminus K)\) 都可唯一地全纯延拓到 \(\Omega \)。 ²

Figure 5: 区域 \(\Omega \) 内的紧集 \(K\)，以及连通的 \(\Omega \setminus K\)。

3.3 \(\bar \partial \) 方程

给定 \(v_1,\ldots ,v_n\in C(\Omega )\)，求

\[ \frac {\partial u}{\partial \bar z_j}=v_j,\qquad 1\le j\le n. \]

这是非齐次 Cauchy–Riemann 方程，简称 \(\bar \partial \) 方程。若记 \(v=\sum _jv_j\,d\bar z_j\)，则方程写成 \(\bar \partial u=v\)。由 \(\bar \partial ^2=0\)，可解的必要条件是 \(\bar \partial v=0\)。对 \(n\ge 2\)，这是有内容的相容性条件。当系数为 \(C^1\) 时，

\[ \bar \partial v= \sum _{j<k}\left (\frac {\partial v_k}{\partial \bar z_j} -\frac {\partial v_j}{\partial \bar z_k}\right )d\bar z_j\wedge d\bar z_k, \]

所以

\[ \bar \partial v=0\quad \Longleftrightarrow \quad \frac {\partial v_j}{\partial \bar z_k} =\frac {\partial v_k}{\partial \bar z_j}\quad \text {对所有 }j,k. \]

3.4 \(\bar \partial \)-Poincaré 引理

设 \(n\ge 2\)，\(v\) 是 \(\mathbb C^n\) 上光滑、紧支集的 \((0,1)\)-形式，且 \(\bar \partial v=0\)。则存在 \(u\in C_c^\infty (\mathbb C^n)\)，使得 \(\bar \partial u=v\)，并且在 \(\mathbb C^n\setminus \operatorname {supp}v\) 的无界连通分支上有 \(u=0\)。

Figure 6: 解在 \(\mathbb C^n\setminus \operatorname {supp}v\) 的无界连通分支上为零。

单复变引理设 \(v=g\,d\bar z\)，\(g\in C_c^\infty (\mathbb C)\)，令

\[ Tg(z)=\frac 1{2\pi i}\int _{\mathbb C} \frac {g(\zeta )}{\zeta -z}\,d\zeta \wedge d\bar \zeta . \]

则 \(Tg\in C^\infty (\mathbb C)\)，且 \(\bar \partial Tg=v\)。

证明参看黎曼曲面笔记中的 Dolbeault 引理。

\(\bar \partial \)-Poincaré 引理的证明写 \(v=\sum _{j=1}^n v_j\,d\bar z_j\)，并令 \(z'=(z_2,\ldots ,z_n)\)。定义

\[ u(z)=\frac 1{2\pi i}\int _{\mathbb C} \frac {v_1(\zeta ,z')}{\zeta -z_1}\,d\zeta \wedge d\bar \zeta . \]

由上一引理，\(u\in C^\infty (\mathbb C^n)\)，且 \(\partial u/\partial \bar z_1=v_1\)。对 \(j\ge 2\)，平移积分变量并利用相容性条件，得到

\[ \begin {aligned} \frac {\partial u}{\partial \bar z_j} &=\frac 1{2\pi i}\int _{\mathbb C} \frac {\partial v_1/\partial \bar z_j\,(z_1+\zeta ,z')}{\zeta } \,d\zeta \wedge d\bar \zeta \\ &=\frac 1{2\pi i}\int _{\mathbb C} \frac {\partial v_j/\partial \bar z_1\,(z_1+\zeta ,z')}{\zeta } \,d\zeta \wedge d\bar \zeta \\ &=\frac {\partial }{\partial \bar z_1} \left (\frac 1{2\pi i}\int _{\mathbb C} \frac {v_j(z_1+\zeta ,z')}{\zeta }\,d\zeta \wedge d\bar \zeta \right ) =v_j. \end {aligned} \]

故 \(\bar \partial u=v\)。

在 \(\mathbb C^n\setminus \operatorname {supp}v\) 上，\(u\) 全纯。取充分大的球 \(B_R\)，使 \(\operatorname {supp}v\subset B_R\)。令

\[ E=\{z\in \mathbb C^n:|z'|>R\}\subset \mathbb C^n\setminus B_R. \]

由积分表达式，\(u|_E=0\)。由唯一性定理，\(u\) 在 \(\mathbb C^n\setminus \operatorname {supp}v\) 的无界连通分支上恒为零，从而具有紧支集。

3.5 Hartogs 定理的证明

取开集 \(\Omega '\)，使得 \(K\subset \Omega '\Subset \Omega \)。取截断函数 \(\chi \in C_c^\infty (\Omega ')\)，使得 \(\chi =1\) 于 \(K\) 的某个邻域。定义 \(\mathbb C^n\) 上的光滑 \((0,1)\)-形式

\[ v=\begin {cases} \bar \partial \bigl ((1-\chi )f\bigr ),&\text {于 }\Omega \setminus K,\\ 0,&\text {于 }K\cup (\mathbb C^n\setminus \Omega ). \end {cases} \]

则 \(\operatorname {supp}v\Subset \Omega '\)，且 \(\bar \partial v=0\)。

Figure 7: 在 \(K\) 附近令 \(\chi =1\)，将变化区域限制在 \(\Omega '\) 内。

由 \(\bar \partial \)-Poincaré 引理，存在 \(u\in C_c^\infty (\mathbb C^n)\)，满足 \(\bar \partial u=v\)，且在 \(\mathbb C^n\setminus \operatorname {supp}v\) 的无界连通分支上 \(u=0\)。令

\[ \widetilde f=(1-\chi )f-u. \]

其中 \((1-\chi )f\) 在 \(K\) 附近按零延拓。于是 \(\widetilde f\in \mathcal O(\Omega )\)。在 \(\Omega \) 中靠近 \(\partial \Omega '\) 外侧、通向外部无界连通分支的一处非空开集上， \(\chi =u=0\)，故 \(\widetilde f=f\)。由 \(\Omega \setminus K\) 连通和唯一性定理， \(\widetilde f=f\) 于 \(\Omega \setminus K\)，从而得到所需延拓。

问题若 \(K\) 与区域的边界相切于一点，是否仍能延拓过 \(K\)？ \(K\) 与边界的交最多能有多大？

¹H. Cartan 的父亲是 E. Cartan，学生有 Serre。

²Hartogs 的老师是 Hurwitz。