1 微分形式与运算
1.1 复坐标与光滑函数
在开集 \(U\subset \mathbb C\) 上，写 \(z=x+iy\)、\(\bar z=x-iy\)，定义
\[ \partial _z=\frac 12\partial _x+\frac 1{2i}\partial _y,\qquad \partial _{\bar z}=\frac 12\partial _x-\frac 1{2i}\partial _y. \]
对光滑函数，Cauchy–Riemann 方程给出
\[ f\in \mathcal O(U)\quad \Longleftrightarrow \quad \partial _{\bar z}f=0. \]
这些微分算子依赖于所选坐标。
一形式可由实坐标改写为复坐标：
\[ f\,dx+g\,dy=\varphi \,dz+\psi \,d\bar z,\qquad \varphi =\frac 12f+\frac 1{2i}g,\quad \psi =\frac 12f-\frac 1{2i}g. \]
设 \(X\) 为黎曼曲面。函数 \(f:X\to \mathbb C\) 称为光滑函数， 如果在每个局部坐标 \(z:U\to V\subset \mathbb C\) 下， \(f|_U=\widetilde f\circ z\)，其中 \(\widetilde f\) 为 \(V\) 上的光滑函数。 记这些函数组成的空间为
\(\mathcal E(X)\)。
1.2 一形式及其类型分解
取复图册 \(\mathcal U=\{(U,z_U)\}\)。 若 \(f_U,g_U\in \mathcal E(U)\)，并且在重叠处
\[ f_U\,dz_U+g_U\,d\bar z_U =f_{U'}\,dz_{U'}+g_{U'}\,d\bar z_{U'}, \]
则这些局部表达式粘合为 \(X\) 上的光滑一形式 \(\omega \)。 记全体光滑一形式为 \(\mathcal E^{(1)}(X)\)。
定义
\[ \mathcal E^{(1,0)}(X) =\{\omega :\omega |_U=f_U\,dz_U\}, \qquad \mathcal E^{(0,1)}(X) =\{\omega :\omega |_U=g_U\,d\bar z_U\}. \]
于是
\[ \mathcal E^{(1)}(X) =\mathcal E^{(1,0)}(X)\oplus \mathcal E^{(0,1)}(X). \]
1.2.1 函数的外微分
对 \(f\in \mathcal E(X)\)，在局部坐标下定义
\[ df=f_z\,dz+f_{\bar z}\,d\bar z,\qquad d'f=f_z\,dz,\qquad d''f=f_{\bar z}\,d\bar z. \]
这些局部表达式给出全局形式，且 \(d=d'+d''\)。 特别地，
\[ f\in \mathcal O(X)\quad \Longleftrightarrow \quad d''f=0. \]
通常也记 \(d'=\partial \)、\(d''=\bar \partial \)。
1.3 全纯、亚纯一形式与留数
定义全纯一形式空间
\[ \Omega (X)=\{\omega \in \mathcal E^{(1,0)}(X): \omega |_U=f_U\,dz_U,\ f_U\in \mathcal O(U)\}. \]
设 \(a\in X\)，\(\omega \in \Omega (X\setminus \{a\})\)。 取满足 \(z(a)=0\) 的局部坐标，写 \(\omega =f(z)\,dz\)。 定义
\[ \operatorname {Res}_a\omega :=\operatorname {Res}_0 f =\frac 1{2\pi i}\int _{|z|=\varepsilon }f(z)\,dz. \]
1.3.1 留数与坐标选择无关
若另一个中心坐标 \(z'\) 中 \(\omega =g(z')\,dz'\)， 取充分小的 \(\varepsilon >0\)，坐标变换 \(z\circ (z')^{-1}\) 将圆盘 \(\{|z'|<\varepsilon \}\) 映为包含原点的 Jordan 区域 \(D_\varepsilon \)。 由换元和 Cauchy 定理，
\[ \frac 1{2\pi i}\int _{|z'|=\varepsilon }g(z')\,dz' =\frac 1{2\pi i}\int _{\partial D_\varepsilon }f(z)\,dz =\operatorname {Res}_a\omega . \]
亚纯一形式指在某个开集 \(X'\subset X\) 上全纯的一形式， 其中 \(X\setminus X'\) 离散，且这些点都是局部系数函数的极点。 记其空间为 \(\mathcal M^{(1)}(X)\)。
1.4 二形式与外微分
光滑二形式在坐标中写为
\[ \eta |_U=f_U\,dz_U\wedge d\bar z_U, \]
并在重叠处一致。记其空间为 \(\mathcal E^{(2)}(X)\)。
对于 \(\omega =f\,dz+g\,d\bar z\)，定义
\[ \begin {aligned} d\omega& =df\wedge dz+dg\wedge d\bar z,\\ d'\omega& =d'g\wedge d\bar z,\\ d''\omega& =d''f\wedge dz. \end {aligned} \]
此时 \(d,d',d''\) 将一形式映到二形式。它们满足
\[ d^2=(d')^2=(d'')^2=0,\qquad d=d'+d'', \]
以及对函数 \(f\) 和一形式 \(\omega \) 的乘积公式
\[ d(f\omega )=df\wedge \omega +f\,d\omega . \]
1.4.1 调和函数
函数 \(f\in \mathcal E(X)\) 称为调和函数，如果 \(d'd''f=0\)。 局部坐标下，
\[ d'd''f=f_{z\bar z}\,dz\wedge d\bar z. \]
全纯一形式也可刻画为
\[ \Omega (X)=\mathcal E^{(1,0)}(X)\cap \ker d. \]
1.5 拉回
设 \(F\in \mathcal O(X,Y)\)。在 \(Y\) 的局部坐标 \(w\) 中， 对 \(\omega =f\,dw+g\,d\bar w\) 定义
\[ F^*\omega =(f\circ F)\,dF+(g\circ F)\,d\overline F. \]
对二形式 \(\eta =f\,dw\wedge d\bar w\)，定义
\[ F^*\eta =(f\circ F)\,dF\wedge d\overline F. \]
拉回与外微分交换：
\[ d\circ F^*=F^*\circ d. \]
对函数情形的验证为
\[ F^*(df) =(f_w\circ F)dF+(f_{\bar w}\circ F)d\overline F =d(f\circ F)=d(F^*f). \]
2 积分与留数
2.1 曲线积分
黎曼曲面 \(X\) 上的分段光滑曲线，是连续映射 \(c:[0,1]\to X\)， 满足存在分割 \(0=t_0<\cdots <t_n=1\) 和局部坐标 \((U_k,z_k=x_k+iy_k)\)，使
\[ c([t_{k-1},t_k])\subset U_k,\qquad x_k\circ c,\ y_k\circ c\in C^1([t_{k-1},t_k]). \]
若一形式在 \(U_k\) 上写为 \(\omega =f_k\,dx_k+g_k\,dy_k\)，则定义
\[ \int _c\omega =\sum _k\int _{t_{k-1}}^{t_k} \left [ (f_k\circ c)\frac {d(x_k\circ c)}{dt} +(g_k\circ c)\frac {d(y_k\circ c)}{dt} \right ]dt. \]
2.2 曲面积分
在 \(U\subset \mathbb C\) 上，
\[ dx=\frac 12(dz+d\bar z),\qquad dy=\frac 1{2i}(dz-d\bar z),\qquad dx\wedge dy=\frac i2\,dz\wedge d\bar z. \]
因此，若 \(\omega =f\,dx\wedge dy\) 且 \(f\in C^\infty _0(U)\)，定义
\[ \int _U\omega =\int _U f\,dx\,dy =\frac i2\int _U f\,dz\wedge d\bar z. \]
2.2.1 坐标不变性
设 \(\varphi :U\to V\) 为双全纯坐标变换，则应使用 \((\varphi ^{-1})^*\omega \) 将 \(U\) 上的形式转到 \(V\) 上。 换元公式给出
\[ \int _U\omega =\int _V(\varphi ^{-1})^*\omega . \]
等价地，若写 \(z=\psi (w)\)、\(\psi :V\to U\)，则
\[ \frac i2\int _U f(z)\,dz\wedge d\bar z =\frac i2\int _V f(\psi (w))|\psi '(w)|^2\,dw\wedge d\bar w. \]
若 \(\omega \) 的支撑紧含于一个坐标邻域 \(U\subset X\)， 取坐标 \(\varphi :U\to V\)，定义
\[ \int _X\omega :=\int _V(\varphi ^{-1})^*\omega . \]
再取另一坐标时，由上述换元公式可见定义与选择无关。
2.2.2 单位分解
利用 \(X\) 的仿紧性，取局部有限的坐标覆盖 \(\{U_k\}\) 和从属于它的光滑单位分解 \(\{\chi _k\}\)：
\[ \chi _k\in C^\infty _0(U_k),\qquad \sum _k\chi _k=1. \]
对紧支撑二形式 \(\omega \)，定义
\[ \int _X\omega =\sum _k\int _{U_k}\chi _k\omega . \]
局部有限性和紧支撑使上述求和实际上只有有限个非零项。
2.3 积分的基本性质
2.3.1 Newton–Leibniz 公式
若 \(F\in \mathcal E(X)\)，则
\[ \int _c dF=F(c(1))-F(c(0)). \]
证明只需在每个坐标段上使用链式法则：
\[ \int _c dF =\sum _k\int _{t_{k-1}}^{t_k}\frac d{dt}(F\circ c)\,dt =\sum _k[F\circ c]_{t_{k-1}}^{t_k}. \]
相邻端点相消即得结论。
2.3.2 紧支撑形式的 Stokes 结论
若 \(\omega \in \mathcal E^{(1)}(X)\) 有紧支撑，则
\[ \int _Xd\omega =0. \]
用单位分解写 \(\omega =\sum _k\chi _k\omega \)，得到
\[ \int _Xd\omega =\sum _k\int _{U_k}d(\chi _k\omega )=0, \]
最后一步是局部坐标中的 Stokes 公式。
2.4 紧黎曼曲面上的留数定理
设 \(X\) 紧，\(a_1,\ldots ,a_n\in X\)，
\[ X'=X\setminus \{a_1,\ldots ,a_n\},\qquad \omega \in \Omega (X'). \]
则
\begin{equation} \sum _{k=1}^n\operatorname {Res}_{a_k}\omega =0. \label {eq:residue-sum} \end{equation}
证明
在各 \(a_k\) 附近取两两不交的坐标圆盘 \((U_k,z_k)\)， 以及截断函数 \(\chi _k\in C^\infty _0(U_k)\)，使 \(\chi _k=1\) 于 \(a_k\) 附近。 令 \(g=1-\sum _k\chi _k\)。因 \(g\) 在所有奇点附近为零， \(g\omega \) 延拓为 \(X\) 上的光滑一形式。于是
\[ 0=\int _Xd(g\omega ) =\int _{X'}d\omega -\sum _k\int _{X'}d(\chi _k\omega ). \]
因为 \(\omega \)
全纯，\(d\omega =0\)。另一方面，Stokes 公式给出
\[ \begin {aligned} \int _{X'}d(\chi _k\omega ) &=\lim _{\varepsilon \to 0} \int _{|z_k|\ge \varepsilon }d(\chi _k\omega )\\ &=-\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|z_k|=\varepsilon }\chi _k\omega \\ &=-2\pi i\,\operatorname {Res}_{a_k}\omega . \end {aligned} \]
代回即得式 (1)。
2.4.1 应用：零点与极点的总阶数
对紧黎曼曲面上的非零亚纯函数 \(f\)，考虑
\[ \omega =\frac {df}{f}. \]
它在 \(f\) 的零点和极点之外全纯。 若 \(a\) 是 \(m\) 阶零点，\(\operatorname {Res}_a(df/f)=m\)； 若是 \(m\) 阶极点，留数为 \(-m\)。
由留数定理，零点与极点按重数计算的总数相等。
3 本章后续
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