黎曼曲面笔记

1 关于笔记

主题：Riemann-Roch 定理， Abel定理和单值化定理

参考书

2 基础知识

• 黎曼曲面的基本概念

• 黎曼曲面上的微分形式

  • Poincaré 引理与 Dolbeault 引理

• 层与上同调

  • Čech 上同调与覆盖加细
  • 一阶 Leray 定理与消失例子

3 紧黎曼曲面

• 有限维性、插值与消失定理

  • 上同调的有限维性
  • 亚纯函数插值与限制消失

• Riemann–Roch 与 Serre 对偶

  • 全纯线丛与除子的对应
  • Hermitian 度量、曲率与 Gauss–Bonnet

  • Serre 对偶定理

    • 线丛上的 Dolbeault 算子与 Weyl 引理
  • 典范除子的次数与消失定理
• 高次除子与射影嵌入
• 分歧与 Riemann–Hurwitz 公式

• 调和一形式与 Hodge 星算子

  • Hodge 分解与第一 Betti 数
• 紧曲面上的 Mittag–Leffler 问题
• Wronskian 与 Weierstrass 点

• Abel 定理与 Abel–Jacobi 映射

  • Abel 定理的解析证明
  • 椭圆函数中的 Abel 条件

4 非紧黎曼曲面

• 非紧曲面上的 Dirichlet 问题

  • Perron 方法与调和上包络
  • 边界障碍与正则点
  • Dirichlet 原理
• Green 函数
• 可数拓扑与 Radó 定理
• Runge 壳与光滑穷竭

• 单值化定理

  • Green 函数与 Riemann 映射
  • Koebe 方法与正规族
  • 由 Runge 穷竭完成单值化
  • 黎曼曲面的椭圆、抛物与双曲分类
  • 三种常曲率度量