黎曼曲面笔记

Wronskian 与 Weierstrass 点

math · analysis

1 Wronskian 判据

对坐标域上的全纯函数 \(f_1,\ldots ,f_g\)，定义

\[ W(f_1,\ldots ,f_g) =\det \bigl (f_j^{(k-1)}\bigr )_{1\leq k,j\leq g}. \]

用归纳法证明：这些函数线性无关，当且仅当它们的 Wronskian 不恒为零。证明中使用

\[ W(\varphi f_1,\ldots ,\varphi f_g) =\varphi ^g W(f_1,\ldots ,f_g) \]

以及对商函数求导后降阶。

2 全纯微分的 Wronskian

取 \(\Omega (X)\) 的基 \(\omega _j=f_j(z)\,dz\)。局部定义

\[ W_z(\omega _1,\ldots ,\omega _g) =W(f_1,\ldots ,f_g). \]

若换坐标，最高阶项给出变换律

\[ W_{\tilde z} =\left (\frac {dz}{d\tilde z}\right )^{g(g+1)/2}W_z. \]

所以这些局部函数拼成

\[ K^{\otimes g(g+1)/2} \]

的全局全纯截面。更换 \(\Omega (X)\) 的基只会乘一个非零常数，其零点及重数与基无关。

3 Weierstrass 点

设 \(g\geq 2\)。若上述 Wronskian 在 \(p\) 消失，称 \(p\) 为 Weierstrass 点。等价地：

\[ p\text { 是 Weierstrass 点} \Longleftrightarrow \exists f\in \mathcal M(X)\setminus \mathbb C, \quad (f)_\infty \leq g\,p. \]

右侧意为存在只在 \(p\) 有极点、且极点阶数不超过 \(g\) 的非常数亚纯函数。

证明把指定主部

\[ a_1z^{-1}+\cdots +a_gz^{-g} \]

代入 Mittag–Leffler 的留数判据。对全纯微分基得到一个 \(g\times g\) 线性方程组；其系数行列式正是 \(p\) 处的 Wronskian。因此存在非零主部解恰等价于该行列式消失。

4 总重数

Wronskian 是 \(K^{\otimes g(g+1)/2}\) 的非零全纯截面，故其零除子的次数为

\[ \frac {g(g+1)}2\deg K =\frac {g(g+1)}2(2g-2) =(g-1)g(g+1). \]

因此 Weierstrass 点按重数计的总数是

\[ (g-1)g(g+1). \]

5 到球面的低次映射

在任意点 \(p\) 用 Riemann–Roch 至少可得到极点阶不超过 \(g+1\) 的函数；在 Weierstrass 点可把界改进为 \(g\)。所以存在次数不超过 \(g\) 的全纯映射 \(X\to \mathbb P^1\)。最小可能次数称为曲面的 gonality。特别地，亏格 \(2\) 的曲面都是超椭圆曲面。

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