黎曼曲面笔记

Abel 定理与 Abel–Jacobi 映射

math · analysis

1 从 Weierstrass 到 Abel

Weierstrass 型问题指定亚纯函数的局部主部；Abel 问题则指定它的零点与极点。设

\[ D=\sum _{j=1}^m n_jp_j,\qquad \deg D=\sum _jn_j=0. \]

若存在非零亚纯函数 \(f\) 使 \((f)=D\)，就称 \(D\) 为主除子。

“弱解”是指：在 \(p_j\) 的坐标 \(z_j\) 中，局部函数写成

\[ f_j=z_j^{n_j}\psi _j,\qquad \psi _j\neq 0, \]

而不先要求这些局部函数拼成全局亚纯函数。

2 链、边界与周期

一条分段光滑 \(1\)-链写成有限形式和

\[ C=\sum _\nu m_\nu \gamma _\nu . \]

定义

\[ \partial C=\sum _\nu m_\nu \bigl (\gamma _\nu (1)-\gamma _\nu (0)\bigr ),\qquad \int _C\omega =\sum _\nu m_\nu \int _{\gamma _\nu }\omega . \]

若 \(\partial C=0\)，则 \(C\) 是闭链；闭链模边界给出 \(H_1(X,\mathbb Z)\)。

3 Abel 定理

定理。 设 \(X\) 是紧黎曼曲面，\(D\) 是次数为零的除子。则以下条件等价：

\(D\) 是主除子；
存在 \(1\)-链 \(C\)，使
\[ \partial C=D,\qquad \int _C\omega =0 \]
对每个 \(\omega \in \Omega (X)\) 都成立。

链的选择并不唯一；换一条边界仍为 \(D\) 的链，会增加一条闭链，所以自然出现全纯一形式的周期。

4 Jacobian 与 Abel–Jacobi 映射

取 \(\Omega (X)\) 的基 \(\omega _1,\ldots ,\omega _g\)，定义周期格

\[ \operatorname {Per}(X) =\left \{ \left (\int _\gamma \omega _1,\ldots ,\int _\gamma \omega _g\right ): [\gamma ]\in H_1(X,\mathbb Z) \right \}\subset \mathbb C^g. \]

Jacobian 为

\[ \operatorname {Jac}(X)=\mathbb C^g/\operatorname {Per}(X). \]

固定基点 \(a\)，Abel–Jacobi 映射写成

\[ j_X(x)= \left [ \int _a^x\omega _1,\ldots ,\int _a^x\omega _g \right ]. \]

改变积分路径只改变一个周期，因此这个类定义良好。Abel 定理把次数为零除子的主性改写为其 Abel–Jacobi 和为零。

5 本章后续

阅读导航： 系列目录；上一篇：Wronskian 与 Weierstrass 点；下一篇：Abel 定理的解析证明。