黎曼曲面笔记

Abel 定理的解析证明

1 两个积分引理

设 \(D=\sum _j n_jp_j\)，并取一个弱解 \(f\)：它在 \(p_j\) 附近形如 \(z_j^{n_j}\psi _j\)，在其余地方光滑且不为零。于是

\[ \frac {df}{f} \]

在支集外光滑，而它的 \((0,1)\) 部分是全局光滑形式。

引理一。 对光滑函数 \(g\)，

\[ \frac 1{2\pi i}\int _X\frac {df}{f}\wedge dg =\sum _jn_jg(p_j). \]

证明在各 \(p_j\) 周围挖去小圆盘并用 Stokes 公式；边界上只有 \(n_j\,dz_j/z_j\) 的积分保留下来。

引理二。 若 \(C\) 是一条 \(1\)-链，则可构造 \(\partial C\) 的弱解 \(f_C\)，使对每个全纯 \(1\)-形式 \(\omega \) 有

\[ \frac 1{2\pi i}\int _X\frac {df_C}{f_C}\wedge \omega =\int _C\omega . \]

对单条嵌入弧，先在细管邻域内选择对数的一个跳跃支，再用横截方向的截断函数把它延拓为邻域外恒等于 \(1\) 的弱解。一般链由有限条这样的弧细分并取乘积得到。

设 \(\partial C=D\) 且 \(\int _C\omega =0\) 对所有全纯 \(\omega \) 成立。取引理二的弱解 \(f\)，并令

\[ \alpha =\frac {\bar \partial f}{f}. \]

这是全局光滑 \((0,1)\)-形式。由引理二，

\[ \int _X\alpha \wedge \omega =0 \]

对每个 \(\omega \in \Omega (X)\) 成立。Hodge 分解给出光滑函数 \(g\) 使

\[ \bar \partial g=\alpha . \]

于是

\[ F=e^{-g}f \]

满足 \(\bar \partial F=0\)，并保留 \(f\) 的零极点阶数。所以 \(F\) 是全局亚纯函数且 \((F)=D\)。

反设 \(D=(f)\)。把 \(f:X\to \mathbb P^1\) 看作有限分歧覆盖。选择避开分歧值的路径，把零点的像连接到极点的像；沿各逆分支提升并按重数求和，得到边界为 \(D\) 的链 \(C\)。

对 \(\omega \in \Omega (X)\)，在非分歧值处定义推前

\[ (f_*\omega )_y=\sum _{x\in f^{-1}(y)} (f|_x^{-1})^*\omega . \]

逐项展开局部逆支，利用单位根求和可证它在分歧值处也全纯。因此 \(f_*\omega \) 是 \(\mathbb P^1\) 上的全纯 \(1\)-形式，只能为零。于是

\[ \int _C\omega =0, \]

完成另一方向。

若局部 \(w=z^m\)，把 \(\omega =\sum _{k\geq 0}a_kz^k\,dz\) 沿 \(m\) 个逆支推前。单位根求和消去不能写成 \(w\) 的整数次幂的项，余下部分在 \(w=0\) 全纯。这是上述推前跨越分歧值延拓的局部理由。