黎曼曲面笔记
椭圆函数中的 Abel 条件
1 环面上的零点与极点
令 \(X=\mathbb C/\Lambda \)，取
\[ D=\sum _{j=1}^m a_j-\sum _{k=1}^m b_k. \]
因为 \(dz\) 张成 \(\Omega (X)\)，Abel 定理说明 \(D\) 为主除子 当且仅当
\[ \sum _{j=1}^m a_j-\sum _{k=1}^m b_k\in \Lambda . \]
换言之，存在以 \(a_j\) 为零点、以 \(b_k\) 为极点的椭圆函数， 恰好需要零点和与极点和在格子模意义下相等。重数包含在重复列出的 点中。
2 通向非紧曲面
单值化定理中的单连通黎曼曲面模型为
\[ \mathbb P^1,\qquad \mathbb C,\qquad \Delta , \]
非紧情形要借助穷竭、Dirichlet 问题和 Riemann 映射方法。
阅读导航： 系列目录； 上一篇：Abel 定理的解析证明； 下一篇：非紧曲面上的 Dirichlet 问题。