黎曼曲面笔记

非紧曲面上的 Dirichlet 问题

1 调和函数

设 \(X\) 是黎曼曲面，\(Y\subset X\) 为开集。实值光滑函数 \(u\) 称为调和的，如果

\[ \bar \partial \partial u=0. \]

在单连通域 \(G\) 上，调和函数是某个全纯函数的实部。事实上，\(\partial u\) 是闭的一形式，单连通性给出全纯原函数 \(f\)，适当归一化后有 \(u=\operatorname {Re}f\)。

若 \(u\) 在连通域上调和且非常数，则它不能在内部取得最大值。局部写 \(u=\operatorname {Re}f\) 后，

\[ e^u=|e^f|, \]

结论归结为全纯函数的最大模原理。对 \(-u\) 应用同一结论，也得到最小值原理。

设 \(Y\Subset X\)，给定连续边界值 \(f\in C(\partial Y,\mathbb R)\)。Dirichlet 问题要求找到

\[ u\in C(\overline Y,\mathbb R)\cap \operatorname {Harm}(Y), \qquad u|_{\partial Y}=f. \]

若解存在，则由最大值原理唯一。

在单位圆盘 \(\Delta \) 上，解由 Poisson 公式给出：

\[ u(re^{i\theta }) =\frac 1{2\pi }\int _0^{2\pi } \frac {1-r^2}{1-2r\cos (\theta -t)+r^2} f(e^{it})\,dt. \]

把那些对任意连续边界值都可解 Dirichlet 问题的相对紧子域记作 \(\operatorname {Reg}(Y)\)。若 \(D\in \operatorname {Reg}(Y)\) 且 \(v\in C(Y)\)，定义调和替换

\[ P_Dv= \begin {cases} v,&Y\setminus D,\\ \text {\(D\) 上以 \(v|_{\partial D}\) 为边界值的调和解},&D. \end {cases} \]

函数 \(v\) 调和，当且仅当对每个规则子域 \(D\Subset Y\) 都有 \(P_Dv=v\)。