黎曼曲面笔记

Dirichlet 原理

1 能量

对 \(Y\Subset X\) 上的实值函数，定义 Dirichlet 能量

\[ D(u)=\int _Ydu\wedge *du, \]

并用极化得到

\[ D(u,w)=\int _Ydu\wedge *dw. \]

给定边界值 \(f\)，Dirichlet 原理断言：在所有满足 \(u|_{\partial Y}=f\) 的合适函数中，能量最小者应当是 Dirichlet 问题的调和解。

设 \(u_0\) 是极小者，\(w\) 在边界上为零。对任意 \(t\in \mathbb R\)，

\[ D(u_0+tw)=D(u_0)+2tD(u_0,w)+t^2D(w). \]

在 \(t=0\) 处取导数得

\[ D(u_0,w)=0. \]

分部积分后，这就是弱形式

\[ \int _Y(\Delta u_0)\,w=0 \]

对所有紧支测试函数 \(w\) 成立，因而

\[ \Delta u_0=0 \]

至少在分布意义下成立；椭圆正则性再给出经典调和性。

直接假设极小者存在是 Weierstrass 对早期 Dirichlet 原理论证的著名批评；Hilbert 在二十世纪初建立了合适的极小化框架，使这一方法获得严格基础。