黎曼曲面笔记
边界障碍与正则点
1 边界数据的 Perron 族
给定 \(f\in C(\partial Y,\mathbb R)\)，令
\[ K=\sup _{\partial Y}f \]
并定义
\[ \mathcal P_f= \left \{ u\in \operatorname {SH}(Y)\cap C(\overline Y): u\leq K,\ u|_{\partial Y}\leq f \right \}. \]
常数 \(-\|f\|_\infty \) 表明该族非空。它满足 Perron 引理的 封闭条件，因此
\[ u_f^*(x)=\sup _{u\in \mathcal P_f}u(x) \]
在 \(Y\) 内调和。余下问题是它是否连续取得边界值。
2 障碍与正则点
称 \(x\in \partial Y\) 为正则点，如果存在邻域 \(U\ni x\) 及连续下调和函数
\[ \beta \in \operatorname {SH}(Y\cap U)\cap C(\overline Y\cap U) \]
使
\[ \beta (x)=0,\qquad \beta (y)<0\quad (y\in (\overline Y\cap U)\setminus \{x\}). \]
这样的 \(\beta \) 称为 \(x\) 处的障碍。
先证明一个粘合引理：给定常数 \(m\leq C\)，可把局部障碍 乘以足够大的正数，并在较小邻域外接常数 \(m\)，得到全局 下调和函数 \(v\)，使
\[ v(x)=C,\qquad v\leq C,\qquad v=m\ \text {于远离 }x\text { 的部分}. \]
3 Perron 定理
定理。 若 \(Y\Subset X\) 的每个边界点都是正则点，则对任意 \(f\in C(\partial Y)\)，Perron 解满足
\[ \lim _{y\to x}u_f^*(y)=f(x), \qquad x\in \partial Y. \]
所以 \(u_f^*\in C(\overline Y)\) 并解 Dirichlet 问题。
证明固定 \(x\in \partial Y\) 与 \(\varepsilon >0\)，利用 连续性在邻域内控制
\[ f(x)-\varepsilon <f(y)<f(x)+\varepsilon . \]
由障碍粘合引理构造一个属于 \(\mathcal P_f\) 的下界函数， 得到
\[ \liminf _{y\to x}u_f^*(y)\geq f(x)-\varepsilon . \]
对 \(-f\) 作相同构造，再结合最大值原理，得到相反方向
\[ \limsup _{y\to x}u_f^*(y)\leq f(x)+\varepsilon . \]
4 正则边界的例子
在平面单连通域的边界点附近可构造对数型障碍，例如在坐标归一化 后使用
\[ \beta (z)=\operatorname {Re}\frac 1{\log z}. \]
更一般地，若边界点附近存在位于域外的切圆，便可由对数势构造障碍。 特别是分段光滑边界上的满足外圆条件的点正则；\(C^1\) 光滑边界是常用情形。
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