黎曼曲面笔记

Perron 方法与调和上包络

1 Perron 族采用的符号

称连续函数 \(v\) 为下调和的，如果对每个规则子域 \(D\Subset Y\) 都有

\[ v\leq P_Dv. \]

记这类函数为 \(\operatorname {SH}(Y)\)。它们满足最大值原理：若下调和函数在连通域内部取得最大值，则为常数。

\(\operatorname {SH}(Y)\) 是凸锥，并有以下性质：

这些结论都来自调和替换与最大值原理。例如在 \(D\) 内， \(P_Dv-v\) 的边界值为零，而下调和性迫使它非负。

设 \(\mathcal F\subset \operatorname {SH}(Y)\) 满足：

\(u,v\in \mathcal F\Rightarrow \max \{u,v\}\in \mathcal F\)；
\(u\in \mathcal F\)、\(D\in \operatorname {Reg}(Y)\Rightarrow P_Du\in \mathcal F\)；
存在常数 \(C\) 使 \(u\leq C\) 对所有 \(u\in \mathcal F\) 成立。

则

\[ u^*(x)=\sup \{u(x):u\in \mathcal F\} \]

在 \(Y\) 上调和。

固定 \(a\in Y\)，取规则子域 \(D\ni a\)，并选 \(u_n\in \mathcal F\) 使 \(u_n(a)\to u^*(a)\)。用有限次最大值替换，可令 \(u_n\) 单调增加。再作调和替换

\[ v_n=P_Du_n. \]

则 \(v_n\) 在 \(D\) 上调和、单调增加并由 \(C\) 控制。 Harnack 收敛定理给出局部一致极限 \(v\in \operatorname {Harm}(D)\)，且 \(v\leq u^*\)。在 \(a\) 处又有 \(v(a)=u^*(a)\)。

对任意 \(x\in D\)，重复选取逼近 \(u^*(x)\) 的序列，并与 \(v_n\) 取最大值后调和替换。极限 \(w\) 满足

\[ v\leq w\leq u^*,\qquad w(a)=v(a). \]

调和函数 \(v-w\leq 0\) 在 \(a\) 取得最大值，故 \(v=w\)；于是 \(v(x)=u^*(x)\)。所以 \(u^*\) 在 \(D\) 调和，而 \(a\) 任意，结论成立。