黎曼曲面笔记
Green 函数
1 Perron 构造
设 \(Y\Subset X\) 且边界正则，固定 \(y\in Y\)。在 \(y\) 附近取坐标 \(z\)，使 \(z(y)=0\)。考虑所有满足下列条件的函数：
- \(u\) 在 \(Y\setminus \{y\}\) 上下调和且 \(u\geq 0\)；
- \(\operatorname {supp}u\Subset Y\)；
- \(u+\log |z|\) 在 \(y\) 的某个邻域上可延拓为下调和函数。
把这个族记作 \(\mathcal F_y\)，定义
\[ g_Y(x,y)=\sup \{u(x):u\in \mathcal F_y\}. \]
族非空：在坐标圆盘内取
\[ u_0(z)=\max \{-\log |z|,0\}, \]
并在圆盘外延拓为零。
2 基本性质
Perron 方法给出：
- \(g_Y(x,y)>0\)（\(x\neq y\)）；
- \(g_Y(\,\cdot \,,y)\) 在 \(Y\setminus \{y\}\) 上调和；
- \(g_Y(\,\cdot \,,y)|_{\partial Y}=0\)；
- \(g_Y(x,y)+\log |z(x)|\) 在 \(y\) 附近调和；
- \(g_Y(x,y)=g_Y(y,x)\)。
用较小坐标圆盘 \(\Delta _r\) 作调和替换，并以边界最大值 \(\lambda _r<1\) 控制候选函数：
\[ u\leq \frac {-\log r}{1-\lambda _r} \quad \text {于 }Y\setminus \Delta _r. \]
这给出 Perron 族的局部一致上界，进而证明调和性和对数奇性。
3 Green 公式与对称性
对边界分段光滑的相对紧域，Stokes 公式给出 Green 恒等式。 在常见实记号中可写成
\[ \int _Y(u_1\Delta u_2-u_2\Delta u_1)\,dA =\int _{\partial Y} \left (u_1\frac {\partial u_2}{\partial n} -u_2\frac {\partial u_1}{\partial n}\right )ds. \]
取
\[ u_1=g_Y(\,\cdot \,,x_1),\qquad u_2=g_Y(\,\cdot \,,x_2), \]
并从 \(Y\) 中挖去两个小坐标圆盘。外边界项因 \(g_Y=0\) 消失，两个小圆周上的对数奇性分别趋于 \(\pi i\,u_1(x_2)\) 与 \(-\pi i\,u_2(x_1)\) ，因此
\[ g_Y(x_1,x_2)=g_Y(x_2,x_1). \]
4 单位圆盘
单位圆盘的 Green 函数为
\[ g_\Delta (z,w) =\log \left |\frac {1-\bar wz}{z-w}\right |. \]
它在边界上为零，在 \(z=w\) 具有 \(-\log |z-w|\) 型奇性， 由唯一性即为所求。
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