可数拓扑与 Radó 定理

1 两个拓扑引理

引理一。 若 \(X,Y\) 是拓扑空间，\(f:X\to Y\) 连续、开且满射， 而 \(X\) 有可数拓扑基，则 \(Y\) 也有可数拓扑基。

事实上，若 \(\mathcal A\) 是 \(X\) 的可数基，则 \(\{f(U):U\in \mathcal A\}\) 是 \(Y\) 的可数基。

引理二（Poincaré–Volterra）。 设 \(X\) 道路连通，\(Y\) 是 Hausdorff 且有可数拓扑基的空间。 若 \(f:X\to Y\) 连续，并且每个纤维 \(f^{-1}(y)\) 都离散， 则 \(X\) 有可数拓扑基。

2 Poincaré–Volterra 引理的构造

取 \(Y\) 的可数基 \(\mathcal A\)。对每个 \(x\in X\)，利用纤维 离散性与 Hausdorff 性，选择邻域 \(W\ni x\) 和 \(U\in \mathcal A\)，使

令 \(V\) 为 \(f^{-1}(U)\) 中含 \(x\) 的连通分支，则

对固定 \(U\)，不同这样的分支互不相交；沿道路用一串相交的 坐标邻域连接，可把每个分支编码到可数数据中，所以分支族至多可数。 所有 \(U\in \mathcal A\) 的这些分支合起来构成 \(X\) 的可数基。

3 Radó 定理

定理。 每个黎曼曲面都具有可数拓扑基。

取一个坐标域 \(U\Subset X\)，在其中选两个互不相交的闭圆盘 \(K_1,K_2\)，并令

先在 \(Y\) 上解边界值分别为 \(0\) 与 \(1\) 的 Dirichlet 问题， 得到非恒定调和函数 \(u\)。于是

是非零全纯 \(1\)-形式。

设 \(p:\widetilde Y\to Y\) 是万有覆盖。因为 \(\widetilde Y\) 单连通，

定义全纯函数 \(F:\widetilde Y\to \mathbb C\)。 \(F\) 非恒定，故纤维离散。Poincaré–Volterra 引理用于 \(F\) 后说明 \(\widetilde Y\) 有可数基；再由覆盖映射开且满， 引理一给出 \(Y\) 有可数基。最后添回坐标域中的两个圆盘， 得到 \(X\) 的可数基。

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