黎曼曲面笔记

Runge 壳与光滑穷竭

1 Runge 壳

设 \(X\) 是黎曼曲面，\(Y\subset X\)。定义

\[ h(Y)=Y\cup \{D:D\text { 是 }X\setminus Y\text { 的相对紧连通分支}\}. \]

若 \(Y=h(Y)\)，称 \(Y\) 是 Runge 的。

直接由定义有

\[ h(h(Y))=h(Y),\qquad Y_1\subset Y_2\Longrightarrow h(Y_1)\subset h(Y_2). \]

还可证明：

闭性的证明把 \(X\setminus Y\) 的非相对紧分支并起来；开性的局部论证则使用局部有限的分支以及 Heine–Borel 紧性。

命题。 若 \(X\) 非紧，则存在紧集序列

\[ K_1\subset K_2^\circ \subset K_2\subset K_3^\circ \subset \cdots , \qquad X=\bigcup _{j\geq 1}K_j, \]

并且

\[ K_j=h(K_j) \]

对每个 \(j\) 成立。

先由 Radó 定理取可数的相对紧坐标域穷竭，再逐次取 Runge 壳。若某一步壳不够大，就把下一个坐标域及连接所需的有限链一起加入。 Heine–Borel 性保证每一步仍为紧集。

若

\[ K_1\subset K_2^\circ ,\qquad K_2=h(K_2), \]

则可找到边界分段光滑的 Runge 域 \(Y\)，满足

\[ K_1\subset Y\Subset K_2. \]

证明先用有限多个坐标圆盘覆盖 \(K_1\)，再填入它们在 \(K_2\) 内围出的相对紧补分支，最后略微平滑边界。

此外，Runge 开集的每个连通分支仍是 Runge 的。因此可从紧 Runge 穷竭提取一列连通、相对紧、边界分段光滑的 Runge 域

\[ Y_1\Subset Y_2\Subset \cdots ,\qquad X=\bigcup _jY_j. \]

证明提纲：若 \(X\) 单连通而 \(Y\subset X\) 是连通 Runge 域，则 \(Y\) 也单连通。反设 \(Y\) 中有不能在 \(Y\) 内缩为一点的闭曲线；因为它能在 \(X\) 中收缩，收缩过程必须扫过某个被曲线围住的相对紧补分支，这与 Runge 条件矛盾。