单值化定理

1 定理

单值化定理（Poincaré–Koebe）。 任意单连通黎曼曲面都双全纯同构于且仅同构于下列三者之一：

紧情形由亏格与全纯微分处理；非紧情形则把曲面用相对紧的 单连通 Runge 域穷竭，并将每一级归一化为圆盘，最后取正规族极限。

2 证明路线

1. 对边界分段光滑的相对紧单连通域，用 Green 函数构造 到单位圆盘的双全纯映射。
2. 研究归一化单叶函数族，并用 Schwarz 引理、Montel 定理 与 Koebe 方法取得紧性。
3. 沿 Runge 穷竭域选择彼此兼容的归一化映射，令目标圆盘半径 单调趋于 \(R\in (0,\infty ]\)。
4. 取对角子列得到 \(X\to \Delta _R\) 的单叶极限，再用 “若像遗漏真子域即可继续扩张半径”的引理证明它满射。

有限 \(R\) 经缩放得到单位圆盘；\(R=\infty \) 得到复平面。 若 \(X\) 紧，则全纯 \(1\)-形式必须为零，故亏格为零， 由前文结论 \(X\simeq \mathbb P^1\)。

3 本章页面

• Green 函数与 Riemann 映射
• Koebe 方法与正规族
• 由 Runge 穷竭完成单值化
• 黎曼曲面的椭圆、抛物与双曲分类
• 三种常曲率度量

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