黎曼曲面笔记
三种常曲率度量
1 三个模型上的度量
对局部共形度量
\[ ds^2=\lambda (z)\,dz\otimes d\bar z, \]
曲率公式为
\[ K=-\frac 2{\lambda } \frac {\partial ^2\log \lambda }{\partial z\,\partial \bar z}. \]
三种单连通模型分别带有
\[ \lambda (z)= \begin {cases} \displaystyle \frac 4{(1+|z|^2)^2}, &X=\mathbb P^1,\\[6pt] 1,&X=\mathbb C,\\[4pt] \displaystyle \frac 4{(1-|z|^2)^2}, &X=\Delta . \end {cases} \]
直接计算给出相应常曲率
\[ K=1,\qquad K=0,\qquad K=-1. \]
2 自同构不变性
球面的度量是 Fubini–Study 度量，复平面的度量是欧氏度量， 圆盘上的度量是 Poincaré 度量。圆盘自同构
\[ \varphi _a(z)=e^{i\theta }\frac {z-a}{1-\bar az} \]
满足
\[ \frac {|\varphi _a'(z)|}{1-|\varphi _a(z)|^2} =\frac 1{1-|z|^2}, \]
所以
\[ \varphi _a^*ds_{\mathrm P}^2=ds_{\mathrm P}^2. \]
3 Schwarz–Pick 与距离
若 \(f:\Delta \to \Delta \) 全纯，则 Schwarz–Pick 定理给出
\[ \frac {|f'(z)|}{1-|f(z)|^2} \leq \frac 1{1-|z|^2}. \]
因而全纯自映射不增加 Poincaré 长度与距离。 从 \(0\) 到 \(r\in [0,1)\) 的径向线段长度为
\[ d_{\mathrm P}(0,r) =\int _0^r\frac {2\,dt}{1-t^2} =\log \frac {1+r}{1-r}. \]
自同构不变性给出一般距离公式
\[ d_{\mathrm P}(z,w) =\log \frac {1+|\varphi _w(z)|}{1-|\varphi _w(z)|}. \]
4 紧曲面的自然度量
若紧黎曼曲面 \(X\) 的亏格 \(g\geq 2\)，则它的万有覆盖是 \(\Delta \)。甲板变换是圆盘自同构，保持 Poincaré 度量， 故该度量下降到 \(X\)，给出常曲率 \(-1\) 的共形度量。 亏格 \(0\) 与 \(1\) 分别对应球面型与平直型。
因此紧黎曼曲面的分类也可按常曲率表达：
\[ g=0\Longleftrightarrow K=1,\qquad g=1\Longleftrightarrow K=0,\qquad g\geq 2\Longleftrightarrow K=-1. \]
5 曲率方程
考虑共形变换
\[ \widetilde \lambda =\lambda e^u. \]
代入曲率公式，常曲率条件化为一个 Liouville 型非线性方程； 按上述归一化，若目标曲率为 \(-1\)，其形式可写为
\[ \frac 2{\lambda } \frac {\partial ^2u}{\partial z\,\partial \bar z} =K+e^u. \]
具体常数取决于 Laplacian 的归一化。
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