黎曼曲面笔记
黎曼曲面的椭圆、抛物与双曲分类
1 由万有覆盖分类
设 \(X\) 是连通黎曼曲面，\(\widetilde X\to X\) 是万有覆盖。 单值化定理只留下三种可能：
\[ \begin {array}{c|c|c} \widetilde X&\text {类型}&\text {典型例子}\\ \hline \mathbb P^1&\text {椭圆型}&\mathbb P^1\\ \mathbb C&\text {抛物型}&\mathbb C,\ \mathbb C^*,\
\mathbb C/\Lambda \\ \Delta& \text {双曲型}&\Delta /\Gamma \end {array} \]
2 抛物型曲面
若 \(\widetilde X\simeq \mathbb C\)，则甲板变换群 \(\Gamma \subset \operatorname {Aut}(\mathbb C)\)。每个自同构形如
\[ z\longmapsto az+b,\qquad a\neq 0. \]
甲板作用无不动点；非恒等元素若 \(a\neq 1\) 会有唯一不动点， 故这里必须 \(a=1\)。因此 \(\Gamma \) 是复平面加法群的离散子群：
- \(\Gamma =\{0\}\)，商为 \(\mathbb C\)；
- \(\Gamma =\mathbb Z b\)，商双全纯于 \(\mathbb C^*\)；
- \(\Gamma =\mathbb Z b_1+\mathbb Z b_2\)，其中 \(b_1,b_2\) 实线性无关，商为复环面。
3 小 Picard 定理
定理。 非常数整函数至多遗漏一个复数值。
若整函数 \(f:\mathbb C\to \mathbb C\) 遗漏两个值 \(a,b\)， 则它给出
\[ f:\mathbb C\longrightarrow \mathbb C\setminus \{a,b\}. \]
两点穿孔平面的万有覆盖是单位圆盘。因为 \(\mathbb C\) 单连通， \(f\) 可提升为
\[ \widetilde f:\mathbb C\longrightarrow \Delta . \]
Liouville 定理迫使 \(\widetilde f\) 为常数，因而 \(f\) 也为常数， 矛盾。
4 覆盖图的说明
考虑
\[ \mathbb C\longrightarrow \mathbb C\setminus \{a,b\} \]
与 \(\Delta \) 万有覆盖之间的提升三角形，并把这一论证作为 单值化定理的直接应用。这里的“双曲性”依赖 \(\mathbb C\setminus \{a,b\}\) 的万有覆盖不是 \(\mathbb P^1\) 或 \(\mathbb C\)。
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