黎曼曲面笔记

由 Runge 穷竭完成单值化

1 圆盘穷竭

设 \(X\) 非紧且单连通。取单连通、相对紧、边界分段光滑的 Runge 穷竭

\[ Y_1\Subset Y_2\Subset \cdots ,\qquad X=\bigcup _{n\geq 1}Y_n. \]

固定 \(a\in Y_1\) 及 \(a\) 附近的坐标。Riemann 映射引理给出双全纯映射

\[ f_n:Y_n\longrightarrow \Delta _{r_n}, \qquad f_n(a)=0,\quad f_n'(a)=1. \]

这里用目标圆盘半径吸收导数归一化。

映射

\[ f_{n+1}\circ f_n^{-1}:\Delta _{r_n}\longrightarrow \Delta _{r_{n+1}} \]

固定 \(0\)，且在 \(0\) 的导数为 \(1\)。Schwarz 引理给出

\[ r_n\leq r_{n+1}. \]

所以

\[ R=\lim _{n\to \infty }r_n\in (0,\infty ]. \]

在每个固定的 \(Y_m\) 上，序列 \(\{f_n|_{Y_m}\}_{n\geq m}\) 局部一致有界。正规族定理先在 \(Y_1\) 上取收敛子列，再在 \(Y_2\) 上取子列，如此递推并取对角子列。得到局部一致极限

\[ f:X\longrightarrow \Delta _R,\qquad f(a)=0,\quad f'(a)=1. \]

每个 \(f_n\) 单叶，Hurwitz 定理排除非单叶极限，故 \(f\) 单叶。

反设 \(f(X)\subsetneq \Delta _R\)。上一页的扩大圆盘引理给出

\[ g:f(X)\longrightarrow \Delta _r,\qquad r<R,\quad g(0)=0,\quad g'(0)=1. \]

复合

\[ h_n=g\circ f\circ f_n^{-1}: \Delta _{r_n}\longrightarrow \Delta _r \]

固定 \(0\) 且导数为 \(1\)。Schwarz 引理迫使

\[ r_n\leq r \]

对所有 \(n\) 成立。令 \(n\to \infty \) 得 \(R\leq r\)，与 \(r<R\) 矛盾。因此

\[ f(X)=\Delta _R. \]

若 \(R<\infty \)，缩放后 \(X\simeq \Delta \)；若 \(R=\infty \)，则 \(X\simeq \mathbb C\)。结合紧情形 \(X\simeq \mathbb P^1\)，单值化定理得证。