黎曼曲面笔记

Koebe 方法与正规族

1 省略值与正规族

设 \(G\subset \mathbb C\) 为域，且 \(\mathbb C\setminus G\) 有内点。固定 \(w_0\in G\)，考虑

\[ \mathcal F= \{f\in \mathcal O(\Delta ,G):f(0)=w_0\}. \]

取 \(a\in (\mathbb C\setminus G)^\circ \)，并以 \(z\mapsto 1/(z-a)\) 把 \(G\) 映入某个有界圆盘。 Montel 定理说明 \(\mathcal F\) 在紧开拓扑下是正规族；若同时保留单叶性和归一化，极限不是常数时仍单叶。

记

\[ \mathcal S= \{f\in \mathcal O(\Delta ): f\text { 单叶},\ f(0)=0,\ f'(0)=1\}. \]

\(\mathcal S\) 是紧的。对序列 \(f_n\)，令

\[ r_n=\sup \{r>0:\Delta _r\subset f_n(\Delta )\}. \]

逆映射 \(f_n^{-1}:\Delta _{r_n}\to \Delta \) 与 Schwarz 引理给出

\[ r_n\leq 1. \]

选取 \(a_n\in \partial \Delta _{r_n}\setminus f_n(\Delta )\)，把 \(f_n/a_n\) 归一化后开平方根，再用

\[ \psi (\zeta )=\sqrt {\zeta -1} \]

型变换构造一个省略相反值的单叶函数。Montel 定理给出收敛子列。归一化 \(f_n'(0)=1\) 排除常值极限；Hurwitz 定理再保证极限单叶。由 Cauchy 估计，导数也收敛并保持 \(f'(0)=1\)。

引理。 设 \(0<R\leq \infty \)，\(0\in Y\subsetneq \Delta _R\) 是单连通域。则存在 \(r<R\) 与单叶映射

\[ f:Y\longrightarrow \Delta _r,\qquad f(0)=0,\quad f'(0)=1. \]

当 \(R=1\) 时，选 \(a\in \Delta \setminus Y\)。以圆盘自同构把 \(a\) 送到 \(0\)，所得函数在 \(Y\) 上无零点；取一个全纯平方根，再用圆盘自同构把其在 \(0\) 的值送到 \(0\)。直接计算导数，得到归一化后的像圆盘半径严格小于 \(1\)。

一般有限 \(R\) 由缩放化到 \(R=1\)；\(R=\infty \) 则先用 Möbius 变换把某个遗漏点送到无穷远，化为有界情形。

这个引理是单值化证明中的极大性步骤：若穷竭极限的像只是 \(\Delta _R\) 的真子域，就能把它重新归一化到更小半径，与先前构造出的极限半径矛盾。