黎曼曲面笔记

Green 函数与 Riemann 映射

1 单值性原理

单值性定理：若一个函数芽沿域中每条路径都可解析延拓，则沿端点固定同伦的两条路径所得函数芽相同。特别地，在单连通域中，从一个基点出发的解析延拓给出全局单值全纯函数。

引理（Riemann）。 若 \(Y\Subset X\) 单连通且边界分段光滑，则

\[ Y\simeq \Delta . \]

固定 \(x_0\in Y\)，在 \(x_0\) 附近取坐标 \(z\)， \(z(x_0)=0\)。Green 函数满足

\[ g_Y(x,x_0)+\log |z(x)| \]

在 \(x_0\) 附近调和。取全纯函数 \(h_0\)，使

\[ \operatorname {Re}h_0 =g_Y(\,\cdot \,,x_0)+\log |z|. \]

于是

\[ f_0=z\,e^{-h_0} \]

在 \(x_0\) 有单零点，并满足

\[ |f_0(x)|=e^{-g_Y(x,x_0)}<1. \]

沿从 \(x_0\) 出发的坐标圆盘链，把 \(g_Y(\,\cdot \,,x_0)\) 的调和共轭逐片延拓。相邻片上的两个选择只差纯虚常数，所以相应局部函数只差模为 \(1\) 的常数。调整这些常数后局部函数相等。单连通性与单值性原理保证绕闭路没有剩余单值差，于是得到

\[ f:Y\longrightarrow \Delta ,\qquad f(x_0)=0,\quad |f|=e^{-g_Y(\,\cdot \,,x_0)}. \]

圆盘 Green 函数满足

\[ g_\Delta (\zeta ,0)=-\log |\zeta |. \]

由 \(f\) 的构造以及 Green 函数的对称性，可比较

\[ g_\Delta (f(y),f(x)) \quad \text {与}\quad g_Y(y,x). \]

两者有相同的对数奇性和零边界值，故由最大值原理

\begin{equation} g_\Delta (f(y),f(x))=g_Y(y,x). \label {eq:green-invariance} \end{equation}

若 \(f(x)=f(y)\) 且 \(x\neq y\)，等式左端为无穷而右端有限，矛盾。因此 \(f\) 单射。由局部展开可知，若某点 \(f'=0\)，两边奇性阶数不符；故 \(f\) 是局部双全纯的。

若 \(f(Y)\neq \Delta \)，取其边界在 \(\Delta \) 内的点 \(p\)，并选 \(x_n\in Y\) 使 \(f(x_n)\to p\)。单射与局部紧性迫使 \(x_n\) 趋向 \(\partial Y\)。但

\[ g_Y(x_n,x_0)=-\log |f(x_n)| \]

一方面由 Green 函数的边界行为趋于 \(0\)，另一方面趋于 \(-\log |p|>0\)，矛盾。故 \(f(Y)=\Delta \)。