黎曼曲面笔记

紧曲面上的 Mittag–Leffler 问题

math · analysis

1 函数的 Mittag–Leffler 分布

取开覆盖 \(\mathcal U=\{U_i\}\)。一组亚纯函数 \(\mu =(f_i)\)，若在每个交集上

\[ f_i-f_j\in \mathcal O(U_i\cap U_j), \]

就称为一个 Mittag–Leffler 分布。它给出 Čech 上闭链

\[ \delta \mu =(f_j-f_i)\in Z^1(\mathcal U,\mathcal O). \]

存在全局亚纯函数 \(f\)，使 \(f-f_i\) 在 \(U_i\) 上全纯，当且仅当

\[ [\delta \mu ]=0\in H^1(X,\mathcal O). \]

在亏格 \(g=0\) 时 \(H^1(X,\mathcal O)=0\)，所以每个 Mittag–Leffler 分布都有解。

2 微分形式的版本

现在令 \(\mu =(\eta _i)\) 是局部亚纯 \(1\)-形式，并要求 \(\eta _i-\eta _j\) 全纯。若 \(\omega \) 是全纯 \(1\)-形式，则局部乘积 \(\eta _i\omega \) 是亚纯 \(2\)-次微分；以局部坐标中的 Laurent 系数定义其总留数型配对，记作

\[ \operatorname {Res}(\mu \omega ). \]

定理。 在紧黎曼曲面上，\(\mu \) 有全局亚纯解，当且仅当

\[ \operatorname {Res}(\mu \omega )=0, \qquad \forall \,\omega \in \Omega (X). \]

3 Hodge 理论给出的证明

取从属于覆盖的光滑分割单位，把局部主部拼成光滑对象 \(\sigma \)。其 \(\bar \partial \)-导数

\[ \alpha =\bar \partial \sigma \]

是全局 \((0,1)\)-形式。若能解 \(\bar \partial u=\alpha \)，则 \(\sigma -u\) 在各片上给出所需亚纯解。

由 Hodge 分解，可解性等价于

\[ \int _X\alpha \wedge \omega =0 \quad \text {对所有 }\omega \in \Omega (X). \]

挖去所有极点附近的小圆盘，在剩余曲面上用 Stokes 公式，边界积分在圆盘半径趋于零时正好变成各局部主部的留数之和。因此

\[ \int _X\alpha \wedge \omega =2\pi i\,\operatorname {Res}(\mu \omega ) \]

（符号取决于边界定向约定），从而得到定理。

4 例子

在 \(X=\mathbb C/\Lambda \) 上，全纯 \(1\)-形式由 \(dz\) 张成。因此给定有限多个主部时，唯一的障碍就是总留数为零。这恢复了椭圆函数中“一个基本平行四边形内留数和为零”的条件。

阅读导航： 系列目录；上一篇：Hodge 分解与第一 Betti 数；下一篇：Wronskian 与 Weierstrass 点。