黎曼曲面笔记

Hodge 分解与第一 Betti 数

1 函数与一形式的正交分解

设 \(\mathcal E^k(X)\) 为光滑 \(k\)-形式空间， \(\mathcal H^1(X)\) 为调和一形式空间。紧曲面上的 Hodge 分解为

\begin{equation} \mathcal E^1(X) =d\mathcal E^0(X)\oplus *d\mathcal E^0(X)\oplus \mathcal H^1(X), \label {eq:hodge-one} \end{equation}

各项按 Hodge 内积正交。按型分解可写成

\[ \mathcal E^{0,1}(X) =\bar \partial \mathcal E^0(X)\oplus \overline {\Omega (X)}. \]

给定 \(\sigma \in \mathcal E^{0,1}(X)\)，方程

\[ \bar \partial f=\sigma \]

有解，当且仅当 \(\sigma \) 与所有反全纯调和分量正交。等价地，对每个 \(\omega \in \Omega (X)\) 都有

\[ \int _X\sigma \wedge \omega =0. \]

这是后面 Mittag–Leffler 问题中留数判据的解析核心。

若 \(\eta \) 闭，把 (1) 中的分解写为 \(\eta =df+*dg+h\)。再对它取外微分，并与 \(g\) 配对，可得 \(*dg=0\)。因此

\[ \{\text {闭一形式}\} =d\mathcal E^0(X)\oplus \mathcal H^1(X). \]

每个 de Rham 上同调类都有唯一调和代表，所以

\[ H_{\mathrm {dR}}^1(X,\mathbb C)\simeq \mathcal H^1(X). \]

由

\[ \mathcal H^1(X)=\Omega (X)\oplus \overline {\Omega (X)} \]

以及 \(\dim _{\mathbb C}\Omega (X)=g\)，得到

\[ b_1(X)=\dim _{\mathbb C}H_{\mathrm {dR}}^1(X,\mathbb C)=2g. \]