黎曼曲面笔记

调和一形式与 Hodge 星算子

1 共轭与型分解

复值一形式在局部坐标中写成

\[ \omega =f\,dz+g\,d\bar z. \]

定义

\[ \overline {\omega }=\bar g\,dz+\bar f\,d\bar z. \]

若 \(\bar \omega =\omega \)，称 \(\omega \) 为实一形式。记 \(\Omega (X)\) 为全纯 \(1\)-形式空间，则其共轭 \(\overline {\Omega (X)}\) 由反全纯 \(1\)-形式组成。

在复一形式上定义

\[ *\,dz=-i\,dz,\qquad *\,d\bar z=i\,d\bar z. \]

于是

\[ *^2=-1,\qquad \overline {*\omega }=*\overline {\omega },\qquad \omega \wedge *\overline {\omega }\geq 0. \]

令 \(d^*=-*d*\)。一形式 \(\omega \) 称为调和的，如果

\[ d\omega =0,\qquad d^*\omega =0. \]

把 \(\omega \) 分解为 \(\omega =\omega ^{1,0}+\omega ^{0,1}\)。在黎曼曲面上，调和条件等价于

\[ \bar \partial \omega ^{1,0}=0,\qquad \partial \omega ^{0,1}=0. \]

因此调和一形式恰能唯一写成

\[ \omega =\alpha +\overline {\beta }, \qquad \alpha ,\beta \in \Omega (X). \]

它也局部等于某个调和函数的微分：在单连通坐标邻域中 \(d\omega =0\) 给出 \(\omega =df\)，而 \(d^*\omega =0\) 等价于 \(f\) 调和。

对实调和一形式，分解进一步写成

\[ \omega =\alpha +\bar \alpha =2\operatorname {Re}\alpha . \]

定义

\[ \langle \omega _1,\omega _2\rangle =\int _X\omega _1\wedge *\overline {\omega _2}, \qquad \|\omega \|^2=\langle \omega ,\omega \rangle . \]

在这一内积下，\((1,0)\) 与 \((0,1)\) 型互相正交；全纯一形式及其共轭均为调和形式。