黎曼曲面笔记

分歧与 Riemann–Hurwitz 公式

1 局部次数与分歧数

设 \(f:X\to Y\) 是紧黎曼曲面之间次数为 \(n\) 的非常数全纯映射。在 \(x\in X\) 与 \(y=f(x)\) 附近取局部坐标，使

\[ w\circ f=z^{\nu (f,x)}. \]

正整数 \(\nu (f,x)\) 称为 \(f\) 在 \(x\) 的局部次数，

\[ b(f,x)=\nu (f,x)-1 \]

称为分歧数。除有限多个点外 \(\nu (f,x)=1\)。总分歧记为

\[ b(f)=\sum _{x\in X}b(f,x). \]

定理。 若 \(X,Y\) 的亏格分别为 \(g_X,g_Y\)，则

\begin{equation} 2g_X-2=n(2g_Y-2)+b(f). \label {eq:riemann-hurwitz} \end{equation}

等价地，

\[ g_X=\frac {b(f)}2+n(g_Y-1)+1. \]

取 \(Y\) 上非零亚纯 \(1\)-形式 \(\omega \)。若 \(\operatorname {ord}_y\omega =m\)，局部可写 \(\omega =w^m h(w)\,dw\)，其中 \(h(0)\neq 0\)。于是

\[ f^*\omega =z^{m\nu (f,x)}h(z^{\nu (f,x)}) \nu (f,x)z^{\nu (f,x)-1}\,dz, \]

从而

\[ \operatorname {ord}_x(f^*\omega ) =\nu (f,x)\operatorname {ord}_y\omega +b(f,x). \]

对 \(x\in X\) 求和，并按 \(Y\) 上的纤维分组：

\[ \deg (f^*\omega ) =n\deg (\omega )+b(f). \]

典范除子的次数为 \(2g-2\)，故立刻得到 (1)。

当 \(Y=\mathbb P^1\)、\(n=2\) 时，

\[ 2g_X-2=-4+b(f),\qquad b(f)=2g_X+2. \]

若二重覆盖只有简单分歧，分歧点恰有 \(2g_X+2\) 个。这是超椭圆曲面的基本例子。