黎曼曲面笔记

高次除子与射影嵌入

1 无基点的完备线性系

设 \(X\) 是亏格为 \(g\) 的紧黎曼曲面，\(D\) 是 \(X\) 上的除子。回忆

\[ \mathcal O_D(U)=\{f\in \mathcal M(U):(f)+D\geq 0\}. \]

若 \(\deg D\geq 2g\)，则对每一点 \(x\in X\)，限制映射

\[ H^0(X,\mathcal O_D)\longrightarrow (\mathcal O_D)_x/ (\mathcal O_{D-x})_x \]

满射；换言之，\(\mathcal O_D\) 由全局截面生成。

证明只需考察

\[ 0\longrightarrow \mathcal O_{D-x}\longrightarrow \mathcal O_D \longrightarrow i_{x,*}\mathbb C\longrightarrow 0. \]

由 Serre 对偶，

\[ H^1(X,\mathcal O_{D-x}) \simeq H^0(X,\mathcal O_{K-D+x})^*. \]

而

\[ \deg (K-D+x)=2g-2-\deg D+1<0, \]

故右端为零；长正合列于是给出所需满射。

取 \(H^0(X,\mathcal O_D)\) 的一组基 \(f_0,\ldots ,f_N\)。无基点性保证

\[ F:X\longrightarrow \mathbb P^N,\qquad x\longmapsto [f_0(x):\cdots :f_N(x)] \]

处处有定义。若在 \(x\) 附近用 \(f_i\neq 0\) 的仿射图，则

\[ F=(f_0/f_i,\ldots ,\widehat {f_i/f_i},\ldots ,f_N/f_i), \]

所以 \(F\) 全纯。

定理。 若 \(\deg D\geq 2g+1\)，则上述 \(F\) 是全纯嵌入。

给定 \(x\neq y\)，考察从 \(\mathcal O_D\) 到支撑在 \(\{x,y\}\) 上的两个一维商的限制映射。它的核是 \(\mathcal O_{D-x-y}\)。因为

\[ \deg (K-D+x+y)=2g-\deg D\leq -1, \]

Serre 对偶给出 \(H^1(X,\mathcal O_{D-x-y})=0\)。因此可指定截面在 \(x,y\) 两点的值，特别能找到在一点为零而在另一点不为零的截面，故 \(F(x)\neq F(y)\)。

固定 \(x\)，把 \(x\) 处的一阶喷射看作 \(\mathcal O_D/\mathcal O_{D-2x}\) 中的类。同样由

\[ \deg (K-D+2x)=2g-\deg D\leq -1 \]

得到 \(H^1(X,\mathcal O_{D-2x})=0\)，故全局截面可以指定到一阶。于是某个仿射坐标在 \(x\) 处导数不为零， \(dF_x\) 为单射。紧性再把单射浸入提升为到像的全纯同构，所以 \(F\) 是嵌入。

进一步作一般线性投影，可以把紧黎曼曲面嵌入 \(\mathbb P^3\)。从射影空间拉回 Fubini–Study 度量，则得到 \(X\) 上的 Hermitian 度量；这与前文由全纯一形式构造的 Bergman 型度量相呼应。