黎曼曲面笔记

典范除子的次数与消失定理

math · analysis

1 典范除子的次数

设 \(X\) 是紧黎曼曲面，解析亏格为 \(g\)。对非零亚纯 \(1\)-形式 \(\omega \)，令 \(K=(\omega )\)。则

\begin{equation} \deg K=2g-2. \label {eq:canonical-degree} \end{equation}

证明由 \(\Omega \simeq \mathcal O_K\) 及 Riemann–Roch，

\[ h^0(X,\Omega )-h^1(X,\Omega )=1-g+\deg K. \]

Serre 对偶给出

\[ h^0(X,\Omega )=h^1(X,\mathcal O)=g,\qquad h^1(X,\Omega )=h^0(X,\mathcal O)=1. \]

代入即得公式 (1)。

特别地，当 \(g\ge 2\) 时，任意非零全纯 \(1\)-形式的零点总重数为 \(2g-2\)。

1.1 复环面的亏格

对 \(E=\mathbb C/\Gamma \)，形式 \(dz\) 下降为 \(E\) 上处处不为零的全纯 \(1\)-形式，所以

\[ 0=\deg (dz)=2g(E)-2,\qquad g(E)=1. \]

2 典范系统没有基点

若 \(g\ge 1\)，则对每个 \(p\in X\)，存在 \(\omega \in H^0(X,\Omega )\)，满足 \(\omega (p)\ne 0\)。

证明首先，

\[ h^0(X,\mathcal O_p)=1. \]

否则存在非常数亚纯函数，只可能在 \(p\) 有一个至多一阶的极点。紧性迫使它确实有极点。把它看作 \(X\to \mathbb P^1\) 的全纯映射，则次数为一，从而 \(X\simeq \mathbb P^1\)，与 \(g\ge 1\) 矛盾。

由 Serre 对偶，

\[ h^1(X,\Omega _{-p})=h^0(X,\mathcal O_p)=1. \]

再由 Riemann–Roch 和 \(\deg (K-p)=2g-3\)，

\begin{align*} h^0(X,\Omega _{-p}) &=h^1(X,\Omega _{-p})+1-g+\deg (K-p)\\ &=g-1<g=h^0(X,\Omega ). \end{align*}

因此存在全纯 \(1\)-形式不属于 \(H^0(X,\Omega _{-p})\)，即它在 \(p\) 处不为零。

2.1 Bergman 形式

在 \(H^0(X,\Omega )\) 上引入内积

\[ (\omega _1,\omega _2)=i\int _X\omega _1\wedge \overline {\omega _2}. \]

取正交归一基 \(\omega _1,\ldots ,\omega _g\)，记

\[ B_X=\sum _{j=1}^g\omega _j\wedge \overline {\omega _j}. \]

当 \(g\ge 1\) 时，上述无基点性质说明 \(B_X\) 处处非零。按这里的约定，实的正 \(2\)-形式是 \(iB_X\)；\(B_X\) 本身是纯虚 \((1,1)\)-形式。

3 负次数时的零阶消失

若 \(D\in \operatorname {Div}(X)\) 且 \(\deg D<0\)，则

\[ H^0(X,\mathcal O_D)=0. \]

否则取非零截面 \(f\)，有 \((f)\ge -D\)，从而

\[ 0=\deg (f)\ge -\deg D>0, \]

矛盾。

4 大次数时的一阶消失

若 \(\deg D>2g-2\)，则

\[ H^1(X,\mathcal O_D)=0. \]

因为 Serre 对偶给出

\[ h^1(X,\mathcal O_D)=h^0(X,\Omega _{-D}) =h^0(X,\mathcal O_{K-D}), \]

而

\[ \deg (K-D)=2g-2-\deg D<0. \]

由上一节的命题，右端为零。

5 亚纯函数层的一阶上同调

推论：

\[ H^1(X,\mathcal M)=0. \]

证明取代表某个上同调类的上闭链

\[ (f_{ij})\in Z^1(\mathcal U,\mathcal M). \]

选取有限的相对紧加细 \(\mathcal V=\{V_i\}\Subset \mathcal U\)。在有限多个紧集 \(\overline V_i\cap \overline V_j\) 上， \(f_{ij}\) 的极点及其阶数可以被一个有效除子统一控制。必要时增大该除子，取 \(D\) 满足

\[ \deg D>2g-2,\qquad (f_{ij})\ge -D\quad \text {在 }V_i\cap V_j\text { 上}. \]

于是该上闭链是 \(\mathcal O_D\)-值的。由于 \(H^1(X,\mathcal O_D)=0\)，再用前面一阶覆盖上同调到层上同调的单射性，它在该覆盖上是上边缘：

\[ f_{ij}=a_j-a_i,\qquad a_i\in \mathcal O_D(V_i)\subset \mathcal M(V_i). \]

因此原来的类也为零。此处沿用本系列统一的 \((\delta a)_{ij}=a_j-a_i\) 符号约定。

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