黎曼曲面笔记

线丛上的 Dolbeault 算子与 Weyl 引理

1 线丛值的光滑形式

设 \(L\) 是黎曼曲面 \(X\) 上的全纯线丛。记 \(\mathcal E_L\) 为光滑截面层，\(\mathcal E_L^{0,1}\) 为取值于 \(L\) 的光滑 \((0,1)\)-形式层。局部标架记为 \(\xi _i\)，截面写作 \(s=f_i\xi _i\)。定义

\[ \bar \partial s|_{U_i}=(\bar \partial f_i)\otimes \xi _i. \]

因为 \(f_i=g_{ij}f_j\)、\(\xi _i=g_{ij}^{-1}\xi _j\)，且 \(g_{ij}\) 全纯，所以上式在重叠处一致。

直接把 \(\bar \partial \) 换成 \(\partial \) 并不能同样定义全局算子，因为此时会出现 \(\partial g_{ij}\)；需要额外的联络结构。

记 \(H^q(X,L)=H^q(X,\mathcal O_L)\)。Dolbeault 同构为

\[ H^1(X,L)\simeq \mathcal E_L^{0,1}(X)/\bar \partial \mathcal E_L(X). \]

它是前面局部 Dolbeault 引理在线丛局部平凡化中的版本。

2 积分配对与表示命题

对

\[ s\in H^0(X,K_X\otimes L^*),\qquad \varphi \in \mathcal E_L^{0,1}(X), \]

局部写成

\[ s=f\,dz\otimes \xi ^*,\qquad \varphi =g\,d\bar z\otimes \xi , \]

定义收缩后的 \(2\)-形式

\[ (s,\varphi )=fg\,dz\wedge d\bar z. \]

坐标和标架变换中的因子互相抵消。若 \(X\) 紧，定义双线性配对

\[ \langle s,\varphi \rangle =\int _X(s,\varphi ). \]

2.1 表示命题

设 \(X\) 紧，\(F:\mathcal E_L^{0,1}(X)\to \mathbb C\) 为连续线性泛函，且 \(F\) 在 \(\bar \partial \mathcal E_L(X)\) 上为零。则存在唯一

\[ s\in H^0(X,K_X\otimes L^*) \]

使得 \(F(\varphi )=\langle s,\varphi \rangle \)。

唯一性若局部 \(s=f\,dz\otimes \xi ^*\)，且对所有支集紧含于坐标域的 \(\varphi =g\,d\bar z\otimes \xi \) 都有 \(\langle s,\varphi \rangle =0\)，则

\[ \int _Ufg\,dz\wedge d\bar z=0 \qquad (g\in C_c^\infty (U)). \]

用紧支光滑函数局部逼近 \(\bar f\)，或者加入非负紧支截断函数，得到 \(f=0\)。因此局部及全局的表示都唯一。

局部解粘合假设在每个平凡化坐标域 \(U_i\) 上已经找到表示 \(s_i\)。重叠处两者对所有紧支测试形式的积分相同，由唯一性知 \(s_i=s_j\)。于是粘合为全局 \(s\)。取从属于覆盖的单位分解 \(\{\rho _i\}\)，有

\[ \langle s,\varphi \rangle =\sum _i\langle s_i,\rho _i\varphi \rangle =\sum _iF(\rho _i\varphi ) =F(\varphi ). \]

局部存在性局部泛函

\[ T(g)=F(g\,d\bar z\otimes \xi ) \]

满足 \(T(\partial g/\partial \bar z)=0\)。因此它是 Cauchy–Riemann 方程的分布解；下面的 Weyl 引理给出全纯函数 \(f\)，从而得到所需的 \(s=f\,dz\otimes \xi ^*\)。

3 Weyl 引理

设 \(U\subset \mathbb C\) 开，线性泛函 \(T:C_c^\infty (U)\to \mathbb C\) 在测试函数拓扑下连续，并满足

\[ T\left (\frac {\partial g}{\partial \bar z}\right )=0 \qquad (g\in C_c^\infty (U)). \]

则存在 \(h\in \mathcal O(U)\)，使

\[ T(g)=\int _Ug h\,dz\wedge d\bar z. \]

连续性在此指：支集包含在同一紧集中，且所有阶导数一致收敛时，泛函值也收敛。

3.1 带截断的积分算子

令

\[ U_\varepsilon =\{z\in U:\operatorname {dist}(z,\partial U)>\varepsilon \}. \]

取 \(\chi _\varepsilon \in C_c^\infty (\{|w|<\varepsilon \})\)，在 \(|w|<\varepsilon /2\) 上等于一。对 \(f\in C_c^\infty (U_\varepsilon )\)，作零延拓后令

\[ f_\varepsilon (z)=\frac 1{2\pi i} \int _{\mathbb C}f(z+w)\frac {\chi _\varepsilon (w)}w\, dw\wedge d\bar w. \]

这是 \(U\) 内的紧支光滑函数。定义光滑函数

\[ \rho _\varepsilon (w)= \begin {cases} \dfrac {\partial }{\partial \bar w} \left (\dfrac {\chi _\varepsilon (w)}w\right ),&w\ne 0,\\ 0,&w=0. \end {cases} \]

因为 \(\chi _\varepsilon =1\) 于原点附近，\(\rho _\varepsilon \) 在该处恒为零。

3.2 积分分部

把 \(z\) 导数转为 \(w\) 导数，在积分域中删去原点的小圆盘，再用 Stokes 公式，得到

\begin{align*} \frac {\partial f_\varepsilon }{\partial \bar z} &=\frac 1{2\pi i}\int _{\mathbb C} \frac {\partial f(z+w)}{\partial \bar w} \frac {\chi _\varepsilon (w)}w\,dw\wedge d\bar w\\ &=f(z)-\frac 1{2\pi i}\int _{\mathbb C} f(w)\rho _\varepsilon (w-z)\,dw\wedge d\bar w. \end{align*}

这里的 \(f(z)\) 是小圆周边界项在半径趋零时的极限。

令

\[ h_\varepsilon (w)=T_z\bigl (\rho _\varepsilon (w-z)\bigr ), \qquad w\in U_\varepsilon . \]

用测试函数拓扑中的 Riemann 和逼近积分，再应用 \(T\)，便有

\[ 0=T\left (\frac {\partial f_\varepsilon }{\partial \bar z}\right ) =T(f)-\frac 1{2\pi i}\int _{\mathbb C}f(w)h_\varepsilon (w)\, dw\wedge d\bar w. \]

3.3 全纯性与粘合

核函数的差商在测试函数拓扑中收敛，所以连续性保证 \(h_\varepsilon \) 光滑。再对 \(g\in C_c^\infty (U_\varepsilon )\) 使用 \(T(\partial g/\partial \bar z)=0\)，积分分部得到

\[ 0=-\frac 1{2\pi i}\int _{U_\varepsilon } g\,\frac {\partial h_\varepsilon }{\partial \bar z}\, dz\wedge d\bar z. \]

因此 \(\partial h_\varepsilon /\partial \bar z=0\)，即 \(h_\varepsilon \in \mathcal O(U_\varepsilon )\)。

若 \(\varepsilon _1<\varepsilon _2\)，两个表示在 \(U_{\varepsilon _2}\) 上给出相同的泛函，唯一性说明它们在那里相等。于是

\[ h|_{U_\varepsilon }=\frac 1{2\pi i}h_\varepsilon \]

粘合为 \(U\) 上的全纯函数，证明引理。

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