黎曼曲面笔记
Serre 对偶定理
1 配对降到上同调
沿用 线丛上的 Dolbeault 算子与 Weyl 引理 中的积分配对。设 \(X\) 是紧黎曼曲面，
\[ s\in H^0(X,K_X\otimes L^*),\qquad f\in \mathcal E_L(X). \]
则
\[ \langle s,\bar \partial f\rangle =0. \]
证明 取平凡化坐标覆盖和从属的单位分解 \(\{\rho _i\}\)，令 \(f_i=\rho _i f\)。局部写
\[ s=h_i\,dz_i\otimes \xi _i^*,\qquad f_i=a_i\xi _i. \]
由于 \(a_i\) 紧支，积分分部给出
\begin{align*} \langle s,\bar \partial f\rangle &=\sum _i\int h_i\,\frac {\partial a_i}{\partial \bar z_i} \,dz_i\wedge d\bar z_i\\ &=-\sum _i\int \frac {\partial h_i}{\partial \bar z_i}a_i \,dz_i\wedge d\bar z_i=0. \end{align*}
因此配对降到 Dolbeault 商空间；通过同构
\[ H^1(X,L)\simeq \mathcal E_L^{0,1}(X)/\bar \partial \mathcal E_L(X), \]
得到
\[ \langle -,-\rangle _L: H^0(X,K_X\otimes L^*)\times H^1(X,L)\longrightarrow \mathbb C. \]
2 对偶同构
Serre 对偶定理断言，上述配对诱导同构
\begin{equation} \Delta _L:H^0(X,K_X\otimes L^*) \xrightarrow {\ \sim \ }H^1(X,L)^*, \qquad \Delta _L(s)(\xi )=\langle s,\xi \rangle _L. \label {eq:serre} \end{equation}
2.1 单射性
若 \(\Delta _L(s)=0\)，则 \(s\) 与所有光滑 \(L\)-值 \((0,1)\)-形式配对为零。由 Weyl 引理子页中表示命题的唯一性知 \(s=0\)。
2.2 满射性
设 \(\ell \) 是 Dolbeault 商空间上的线性泛函。令
\[ F:\mathcal E_L^{0,1}(X)\longrightarrow \mathbb C,\qquad F(\varphi )=\ell ([\varphi ]). \]
如果商空间带有限维 Hausdorff 商拓扑，则 \(F\) 连续，且在 \(\bar \partial \mathcal E_L(X)\) 上为零。表示命题于是给出唯一全纯截面 \(s\)，满足
\[ \ell ([\varphi ])=F(\varphi )=\langle s,\varphi \rangle . \]
再用 Dolbeault 同构，便得到 \(\Delta _L\) 满射。
3 除子形式的对偶
记 \(\Omega \) 为全纯 \(1\)-形式层，并记
\[ \Omega _{-D}(U)= \{\omega \text { 为亚纯 }1\text {-形式}:(\omega )\ge D\}, \]
同样包括零截面。若 \(K\) 为典范除子，则
\[ \Omega _{-D}\simeq \mathcal O_{K-D} \simeq \mathcal O_{K_X\otimes L_D^*}. \]
对 \(L=L_D\) 应用 (1)，有
\[ H^0(X,\Omega _{-D})\simeq H^1(X,\mathcal O_D)^*. \]
再对 \(K_X\otimes L_D^*\) 应用对偶，并使用有限维双对偶，得到
\[ H^0(X,\mathcal O_D)\simeq H^1(X,\Omega _{-D})^*. \]
4 本章后续
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