1 Hermitian 度量
设全纯线丛 \(L\) 的转移函数为 \(g_{ij}\)，截面系数满足 \(f_i=g_{ij}f_j\)。Hermitian 度量由正的光滑函数 \(h_i\) 给出，满足
\[ h_i=\frac {h_j}{|g_{ij}|^2}. \]
于是
\[ |s|_h^2=h_i|f_i|^2 \]
与局部平凡化的选择无关。
2 曲率与陈数的约定
采用实曲率形式约定，定义
\begin{equation} \Theta _h=i\,\partial \bar \partial (-\log h_i). \label {eq:curvature} \end{equation}
因为
\[ -\log h_i=-\log h_j+\log |g_{ij}|^2,\qquad \partial \bar \partial \log |g_{ij}|^2=0, \]
这些局部 \(2\)-形式粘合为全局形式。
若 \(X\) 紧，定义第一陈数
\begin{equation} c(L)=\frac 1{2\pi }\int _X\Theta _h. \label {eq:chern-number} \end{equation}
这里的数是第一陈类在 \(X\) 上的积分，不把数与上同调类本身混同。
3 除子次数等于陈数
若 \(D=\sum _k n_kp_k\)，则
\[ c(L_D)=\deg D. \]
证明
取局部定义函数 \(f_i\)，使 \((f_i)=D\) 且 \(g_{ij}=f_i/f_j\)。 于是 \(\{f_i\}\) 给出 \(L_D\) 的全局亚纯截面 \(f\)，满足 \((f)=D\)。 在 \(X'=X\setminus \{p_k\}\) 上，
\[ \Theta _h=i\partial \bar \partial (-\log |f|_h^2). \]
在 \(p_k\) 附近写成
\[ f=z_k^{n_k}u_k\,\xi _k,\qquad u_k(p_k)\ne 0, \]
其中 \(\xi _k\) 为全纯标架。
删去各个小圆盘，对剩余区域应用 Stokes 公式。若小圆周按正向定向， 则
\begin{align*} c(L_D) &=\lim _{\varepsilon \to 0}\frac 1{2\pi i} \sum _k\int _{|z_k|=\varepsilon }\partial \log |f|_h^2\\ &=\lim _{\varepsilon \to 0}\frac 1{2\pi i} \sum _k\int _{|z_k|=\varepsilon } \left (n_k\frac {dz_k}{z_k} +\partial \log (|u_k|^2|\xi _k|_h^2)\right )\\ &=\sum _k n_k. \end{align*}
最后的光滑项积分趋于零。这里边界积分中的 \(1/(2\pi i)\) 与面积积分 (2) 的 \(1/(2\pi )\) 并不矛盾： 它来自 Stokes 公式中 \(\partial \bar \partial \) 的符号变换。
4 Gauss–Bonnet 的复分析表达
设 \(X\) 为紧定向曲面。在等温坐标下，Riemann 度量写成
\[ g=\lambda \,dz\otimes d\bar z,\qquad dV_g=\frac i2\lambda \,dz\wedge d\bar z. \]
重叠坐标上有
\[ \lambda _i\left |\frac {\partial z_i}{\partial z_j}\right |^2=\lambda _j. \]
因此 \(\{\lambda _i\}\) 给出切线丛 \(K_X^*\) 上的 Hermitian 度量。 Gauss 曲率为
\[ K_g=-\frac 2{\lambda } \frac {\partial ^2\log \lambda }{\partial z\,\partial \bar z}, \]
而
\[ \Theta _{K_X^*} =-i\partial \bar \partial \log \lambda =K_g\,dV_g. \]
使用后文由 Riemann–Roch 与 Serre 对偶得到的 \(\deg K_X=2g-2\)，可写为
\[ \frac 1{2\pi }\int _XK_g\,dV_g =\deg K_X^* =-\deg K_X =2-2g =\chi (X). \]
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