黎曼曲面笔记

全纯线丛与除子的对应

1 转移函数与线丛

取黎曼曲面 \(X\) 的开覆盖 \(\{U_i\}\)，以及无零点全纯函数

\[ g_{ij}\in \mathcal O^*(U_i\cap U_j),\qquad g_{ij}g_{jk}=g_{ik}. \]

由它们构造全纯线丛

\[ L=\coprod _i(U_i\times \mathbb C)/\sim , \qquad (x,v)_i\sim (y,w)_j \Longleftrightarrow x=y,\ v=g_{ij}(x)w. \]

投影 \(\pi :L\to X\) 在每个 \(U_i\) 上有局部平凡化 \(\varphi _i:\pi ^{-1}(U_i)\to U_i\times \mathbb C\)，满足

\[ \varphi _j\circ \varphi _k^{-1}(x,v)=(x,g_{jk}(x)v). \]

总空间 \(L\) 是二维复流形；纤维是复直线，所以总空间非紧。

开集 \(U\) 上的全纯截面对应于函数族

\[ f_i\in \mathcal O(U\cap U_i),\qquad f_i=g_{ij}f_j. \]

这些截面组成层 \(\mathcal O_L\)。若以 \(\xi _i\) 表示局部标架，则

\[ s=f_i\xi _i,\qquad \xi _i=g_{ij}^{-1}\xi _j. \]

亚纯截面在一个离散点集之外全纯，并且在每个例外点 \(p\) 的中心坐标 \(z\) 下，存在非负整数 \(k\)，使 \(z^ks\) 全纯延拓。其零极点阶数由局部系数定义；改变标架只乘无零点全纯函数，故不改变阶数。

\(g_{ij}=1\) 给出平凡线丛 \(X\times \mathbb C\)。典范线丛 \(K_X\) 的全纯截面是全纯 \(1\)-形式。若 \(\omega =f_i\,dz_i=f_j\,dz_j\)，则

\[ f_i=\frac {dz_j}{dz_i}f_j, \qquad g_{ij}=\frac {dz_j}{dz_i}. \]

给定除子 \(D\)，选取局部亚纯函数 \(\psi _i\)，满足 \((\psi _i)=D|_{U_i}\)。令

\[ g_{ij}=\frac {\psi _i}{\psi _j}. \]

由于分子与分母具有相同的除子，比值全纯且无零点，从而定义线丛 \(L_D\)。若 \(D=(\omega )\) 是典范除子，则 \(L_D\simeq K_X\)。

两个线丛的张量积，以转移函数的乘积为转移函数。特别地， \(L^{\otimes n}\) 的转移函数为 \(g_{ij}^n\)， \(K_X^{\otimes n}\) 称为多重典范线丛。

对偶线丛 \(L^*\) 的转移函数是 \(g_{ij}^{-1}\)。线丛的同构类在张量积下构成 Picard 群 \(\operatorname {Pic}(X)\)：单位元为平凡线丛，对偶给出逆元。

有自然同构

\[ \mathcal O_D\simeq \mathcal O_{L_D}. \]

事实上，对 \(f\in \mathcal O_D(U)\)，令 \(f_i=f\psi _i\)。由 \((f)\ge -D\) 知 \(f_i\) 全纯，且

\[ f_i=\frac {\psi _i}{\psi _j}f_j=g_{ij}f_j, \]

所以定义全纯截面。

反过来，如果 \(\{f_i\}\) 是 \(L_D\) 的全纯截面，则

\[ \frac {f_i}{\psi _i}=\frac {f_j}{\psi _j} \]

粘合为亚纯函数 \(f\)。在各个 \(U_i\) 上，

\[ (f)=(f_i)-(\psi _i)\ge -(\psi _i)=-D. \]

这两种构造互为逆映射。

局部定义函数模去无零点全纯函数，给出除子的另一种表达：

\[ \operatorname {Div}(X)\simeq \Gamma (X,\mathcal M^*/\mathcal O^*). \]

取局部代表 \(\psi _i\)，其比值 \(\psi _i/\psi _j\) 是 \(\mathcal O^*\)-值的 \(1\)-上闭链，因而得到

\[ \operatorname {Div}(X)\longrightarrow H^1(X,\mathcal O^*)\simeq \operatorname {Pic}(X), \qquad D\longmapsto L_D. \]

改变局部定义函数相当于乘一个 \(0\)-上链；转移函数相差一个上边缘，而线丛的同构类不变。