黎曼曲面笔记

Riemann–Roch 与 Serre 对偶

1 除子与除子层

1.1 除子

设 \(X\) 是黎曼曲面。除子是一个函数 \(D:X\to \mathbb Z\)，其支集 \(\operatorname {supp}D=\{p:D(p)\ne 0\}\) 局部有限。也把它写成形式和

\[ D=\sum _{p\in X}D(p)\,p. \]

所有除子在逐点相加下构成阿贝尔群 \(\operatorname {Div}(X)\)。若对每个 \(p\in X\) 都有 \(D(p)\le D'(p)\)，记为 \(D\le D'\)； \(D\ge 0\) 时称 \(D\) 为有效除子。

1.1.1 亚纯函数的除子

对非零亚纯函数 \(f\)，定义

\[ \operatorname {ord}_a f= \begin {cases} 0,&f\text { 在 }a\text { 处全纯且不为零},\\ k,&a\text { 是 }f\text { 的 }k\text { 阶零点},\\ -k,&a\text { 是 }f\text { 的 }k\text { 阶极点}. \end {cases} \]

相应的主除子为

\[ (f)=\sum _{a\in X}\operatorname {ord}_a(f)\,a. \]

由 \((fg)=(f)+(g)\) 可知，主除子构成 \(\operatorname {Div}(X)\) 的子群。

若 \(D-D'=(f)\)，称 \(D,D'\) 线性等价，记为 \(D\sim D'\)。除子类群是

\[ \operatorname {Cl}(X)= \operatorname {Div}(X)/\{\text {主除子}\}. \]

1.1.2 亚纯微分与典范除子

非零亚纯 \(1\)-形式局部写作 \(\omega =f(z)\,dz\)。定义

\[ \operatorname {ord}_a\omega =\operatorname {ord}_a f,\qquad (\omega )=\sum _a\operatorname {ord}_a(\omega )\,a. \]

坐标变换的导数全纯且无零点，因此此定义与坐标无关。这样的除子称为典范除子。

如果 \(\omega _1,\omega _2\) 是两个非零亚纯 \(1\)-形式，则 \(f=\omega _1/\omega _2\) 是非零亚纯函数，并且

\[ (\omega _1)-(\omega _2)=(f). \]

因此所有典范除子线性等价。

1.2 紧曲面上的次数

若 \(X\) 紧，则任一除子的支集有限，可以定义

\[ \deg D=\sum _{p\in X}D(p). \]

由留数定理，非零亚纯函数的零点总重数等于极点总重数，所以

\[ \deg (f)=0. \]

特别地，线性等价的除子具有相同次数。

1.3 除子诱导的层

记亚纯函数层为 \(\mathcal M\)。给定除子 \(D\)，定义

\[ \mathcal O_D(U)= \{f\in \mathcal M(U):(f)\ge -D\}. \]

这里约定把零截面也包括在内；当 \(U\) 不连通时，在每个非零分支上理解除子不等式。局部条件可以粘合，故得到层 \(\mathcal O_D\)。特别地，\(\mathcal O_0=\mathcal O\)。

若 \(D-D'=(\psi )\)，则乘法给出层同构

\[ \mathcal O_D\longrightarrow \mathcal O_{D'},\qquad f\longmapsto f\psi . \]

事实上，

\[ (f\psi )=(f)+(\psi )\ge -D+(\psi )=-D'. \]

逆映射是除以 \(\psi \)。

2 Riemann–Roch 定理

2.1 定理

设 \(X\) 是紧黎曼曲面，\(g=\dim H^1(X,\mathcal O)\)， \(D\in \operatorname {Div}(X)\)。则 \(H^0(X,\mathcal O_D)\) 与 \(H^1(X,\mathcal O_D)\) 都有限维，并且

\begin{equation} \dim H^0(X,\mathcal O_D)-\dim H^1(X,\mathcal O_D) =1-g+\deg D. \label {eq:rr} \end{equation}

2.2 增加一个点的短正合列

取 \(p\in X\)，也用 \(p\) 表示对应的单点除子，令 \(D'=D+p\)。记 \(k=D(p)\)，取中心在 \(p\) 的局部坐标 \(z\)。对 \(s\in \mathcal O_{D'}(U)\)，其 Laurent 展开为

\[ s=\sum _{\nu =-k-1}^{\infty }c_\nu z^\nu . \]

以 \(i_{p,*}\mathbb C\) 表示支撑于 \(p\) 的摩天大楼层。取最低次系数给出层态射

\[ \beta :\mathcal O_{D'}\longrightarrow i_{p,*}\mathbb C,\qquad s\longmapsto c_{-k-1}. \]

在不含 \(p\) 的开集上令它为零。这个态射在茎上满射，且 \(\ker \beta =\mathcal O_D\)，因此有短正合列

\[ 0\longrightarrow \mathcal O_D\longrightarrow \mathcal O_{D+p} \longrightarrow i_{p,*}\mathbb C\longrightarrow 0. \]

用摩天大楼层的 \(H^1\) 为零，得到长正合列的相关部分

\begin{align*} 0&\longrightarrow H^0(X,\mathcal O_D) \longrightarrow H^0(X,\mathcal O_{D'}) \longrightarrow \mathbb C\\ &\longrightarrow H^1(X,\mathcal O_D) \longrightarrow H^1(X,\mathcal O_{D'}) \longrightarrow 0. \end{align*}

2.3 归纳证明

记

\[ V=\operatorname {im}\bigl (H^0(X,\mathcal O_{D'})\to \mathbb C\bigr ), \qquad W=\mathbb C/V. \]

上面的长正合列拆为

\begin{align*} 0&\longrightarrow H^0(X,\mathcal O_D) \longrightarrow H^0(X,\mathcal O_{D'}) \longrightarrow V\longrightarrow 0,\\ 0&\longrightarrow W\longrightarrow H^1(X,\mathcal O_D) \longrightarrow H^1(X,\mathcal O_{D'}) \longrightarrow 0. \end{align*}

因为 \(\dim V+\dim W=1\)，所以

\[ \chi (\mathcal O_{D'})=\chi (\mathcal O_D)+1,\qquad \deg D'=\deg D+1, \]

其中 \(\chi (\mathcal O_D)=h^0(\mathcal O_D)-h^1(\mathcal O_D)\)。这些正合列同时说明：两侧除子中一个的两个上同调群有限维，另一个也有限维。

在 \(D=0\) 时，紧曲面上的全纯函数为常数，故

\[ h^0(\mathcal O)=1,\qquad h^1(\mathcal O)=g. \]

任意除子都能从零除子经过有限次增加或减少单点除子得到。于是 \(\chi (\mathcal O_D)-\deg D=1-g\)，证明了公式 (1)。

2.4 指定唯一极点

给定 \(a\in X\)，令 \(D=(g+1)a\)。由 Riemann–Roch，

\[ h^0(\mathcal O_D)=h^1(\mathcal O_D)+2\ge 2. \]

因常数只占一维，存在非常数亚纯函数 \(f\)，在 \(a\) 外全纯，且在 \(a\) 的极点阶数不超过 \(g+1\)。它必在 \(a\) 有极点，否则会成为紧曲面上的非常数全纯函数。

2.4.1 到黎曼球面的映射

把 \(f\) 看作 \(X\to \mathbb P^1\) 的全纯分歧覆盖，其覆盖次数等于极点总重数，因此不超过 \(g+1\)。

当 \(g=0\) 时，此映射的次数为一，从而是双全纯同构。因此

\[ g(X)=0\quad \Longrightarrow \quad X\simeq \mathbb P^1. \]

这里使用了非常数紧曲面映射的有限分歧覆盖性质。

3 本章后续

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