黎曼曲面笔记

亚纯函数插值与限制消失

1 指定唯一极点

设 \(X\) 是黎曼曲面，\(Y\Subset X\) 为开集。对每个 \(a\in Y\)，存在 \(f\in \mathcal M(Y)\)，使 \(a\) 是其唯一极点。

证明由有限维性定理，

\[ R=\dim \operatorname {Im}\bigl (H^1(X,\mathcal O)\to H^1(Y,\mathcal O)\bigr )<\infty . \]

在 \(a\) 附近取中心坐标 \((U_1,z)\)，并令 \(U_2=X\setminus \{a\}\)。这两个开集覆盖 \(X\)。函数 \(z^{-j}\) 在 \(U_1\cap U_2\) 上全纯，代表上闭链 \(\zeta _j\)，\(1\le j\le R+1\)。

这些类限制到 \(Y\) 后线性相关，因此存在不全为零的 \(c_1,\ldots ,c_{R+1}\) 与局部全纯函数 \(f_1,f_2\)，使

\[ \sum _{j=1}^{R+1}c_jz^{-j}=f_2-f_1 \quad \hbox {于 }U_1\cap U_2\cap Y. \]

于是

\[ f= \begin {cases} f_1+\sum _{j=1}^{R+1}c_jz^{-j},&U_1\cap Y,\\ f_2,&U_2\cap Y \end {cases} \]

粘合为亚纯函数。主部非零，因此 \(a\) 确实是极点，且无其他极点。

2 紧黎曼曲面上的有限点插值

设 \(X\) 紧，\(a_1,\ldots ,a_n\in X\) 两两不同， \(c_1,\ldots ,c_n\in \mathbb C\)。则存在 \(f\in \mathcal M(X)\)，使

\[ f(a_j)=c_j,\qquad 1\le j\le n. \]

证明由上一节，对每个 \(i\ne j\)，可取亚纯函数 \(f_{ij}\)，使 \(a_i\) 为其唯一极点。因此它在其他 \(a_k\) 处全纯。选 \(\lambda _{ij}\ne 0\)，避开有限多个使分母在这些点为零的值，令

\[ g_{ij} =\frac {f_{ij}-f_{ij}(a_j)} {f_{ij}-f_{ij}(a_j)+\lambda _{ij}}. \]

则 \(g_{ij}\) 在所有插值点处全纯，在 \(a_i\) 处由极限延拓且取值 \(1\)，在 \(a_j\) 处取值 \(0\)。

令

\[ h_i=\prod _{j\ne i}g_{ij}. \]

于是 \(h_i(a_j)=\delta _{ij}\)，所求函数为

\[ f=\sum _{i=1}^nc_i h_i. \]

3 非紧曲面上的局部非恒定全纯函数

设 \(X\) 非紧，\(Y\Subset X\) 为开集。存在 \(f\in \mathcal O(Y)\)，使 \(f\) 在 \(Y\) 的每个连通分支上都非恒定。

取连通区域 \(Y'\)，使 \(Y\Subset Y'\Subset X\)，并取 \(a\in Y'\setminus \overline Y\)。由单极点结论，存在 \(Y'\) 上仅在 \(a\) 有极点的亚纯函数。它限制到 \(Y\) 后全纯；若在某个连通分支上为常数，恒同原理将迫使其在 \(Y'\) 上为常数，与存在极点矛盾。

4 限制映射的像为零

设 \(X\) 为非紧黎曼曲面，\(Y\Subset Y'\Subset X\) 为开集。则

\[ \operatorname {Im}\bigl (H^1(Y',\mathcal O)\to H^1(Y,\mathcal O)\bigr )=0. \]

证明记这个像为 \(L\)。由有限维性，\(n=\dim L<\infty \)。若 \(n=0\)，结论已成立。否则取 \(\zeta _1,\ldots ,\zeta _n\in H^1(Y',\mathcal O)\)，使其限制构成 \(L\) 的一组基。

取 \(f\in \mathcal O(Y')\)，使它在每个连通分支上非恒定。乘以 \(f\) 在有限维空间 \(L\) 上给出线性变换，故有常数 \(c_{\nu \mu }\) 使

\[ f\zeta _\nu =\sum _{\mu =1}^n c_{\nu \mu }\zeta _\mu \quad \hbox {于 }Y. \]

令 \(A=(f\delta _{\nu \mu }-c_{\nu \mu })\)， \(F=\det A\in \mathcal O(Y')\)。因 \(f\) 在每个连通分支上非恒定，而 \(\det (tI-C)\) 为非零多项式， \(F\) 在每个连通分支上不恒为零。左乘古典伴随矩阵得到

\[ F\,\zeta _\nu |_Y=0,\qquad 1\le \nu \le n. \]

因此 \(F\) 消去整个 \(L\)。

下面说明每个类都可先除以 \(F\)。先取能表示 \(\zeta \in H^1(Y',\mathcal O)\) 的上闭链覆盖。因 \(F\) 的零点离散，在每个零点处选一个包含在原覆盖成员中的小邻域，再用不含任何零点的开集覆盖其余部分，得到加细。每个零点只属于其中一个成员，故 \(F\) 在不同成员的重叠上无零点。将代表上闭链限制到这个加细，记为 \((f_{ij})\)。于是

\[ g_{ij}=\frac {f_{ij}}F \]

在重叠上全纯，且仍为上闭链。设其上同调类为 \(\xi \)，则 \(\zeta =F\xi \)，故

\[ \zeta |_Y=F\,\xi |_Y=0. \]

5 较小区域上的 Dolbeault 方程

在上述条件下，每个 \(\omega \in \mathcal E^{(0,1)}(Y')\) 都存在 \(f\in \mathcal E(Y)\)，使

\[ d''f=\omega |_Y. \]

证明取 \(Y'\) 的坐标圆盘覆盖 \(\{U_i\}\)。由圆盘上的 Dolbeault 引理，在每个 \(U_i\) 上解出 \(d''f_i=\omega \)。因此 \(f_j-f_i\) 在重叠处全纯，构成 \(\mathcal O\) 的一阶上闭链。由限制消失定理，其限制到 \(Y\) 后是余边界：

\[ f_j-f_i=g_j-g_i \quad \hbox {于 }U_i\cap U_j\cap Y, \]

其中 \(g_i\) 全纯。于是 \(f_i-g_i\) 粘合成 \(Y\) 上的光滑函数 \(f\)，并满足 \(d''f=\omega \)。

阅读导航： 系列目录；上一篇：上同调的有限维性；下一篇：Riemann–Roch 与 Serre 对偶。