黎曼曲面笔记

上同调的有限维性

1 坐标覆盖上的 L² 上链

取有限族坐标圆盘 \((U_i^*,z_i)\)，及相对紧的开集 \(U_i\Subset U_i^*\)。对 \(\mathcal U=\{U_i\}\)，定义

\[ \|(f_i)\|_{L^2(\mathcal U)}^2 =\sum _i\|f_i\circ z_i^{-1}\|_{L^2(z_i(U_i))}^2, \]

\[ \|(f_{ij})\|_{L^2(\mathcal U)}^2 =\sum _{i<j}\|f_{ij}\circ z_i^{-1}\|_{L^2(z_i(U_i\cap U_j))}^2. \]

在这些范数有限的上链和上闭链中，分别记

\[ C^q_{(2)}(\mathcal U,\mathcal O) =C^q(\mathcal U,\mathcal O)\cap L^2,\qquad Z^q_{(2)}(\mathcal U,\mathcal O) =Z^q(\mathcal U,\mathcal O)\cap L^2. \]

对 \(q=0,1\)，这些是 Hilbert 空间。

若 \(\mathcal V=\{V_i\}\) 满足 \(V_i\Subset U_i\)，则由 L² Schwarz 引理，对任意 \(\varepsilon >0\)，存在 \(Z^1_{(2)}(\mathcal U,\mathcal O)\) 中有限余维的闭子空间 \(A\)，使

\[ \|\xi \|_{L^2(\mathcal V)} \le \varepsilon \|\xi \|_{L^2(\mathcal U)}\qquad (\xi \in A). \]

2 有估计的上闭链延拓

取逐项相对紧包含的有限族

\[ \mathcal W\Subset \mathcal V\Subset \mathcal U\Subset \mathcal U^*. \]

存在 \(c>0\)，使对每个 \(\zeta \in Z^1_{(2)}(\mathcal V,\mathcal O)\)，可取

\[ \xi \in Z^1_{(2)}(\mathcal U,\mathcal O),\qquad \eta \in C^0_{(2)}(\mathcal W,\mathcal O), \]

满足

\begin{equation} \zeta =\xi +\delta \eta \quad \hbox {于 }\mathcal W,\qquad \max \{\|\xi \|_{L^2(\mathcal U)},\|\eta \|_{L^2(\mathcal W)}\} \le c\|\zeta \|_{L^2(\mathcal V)}. \label {eq:extension-estimate} \end{equation}

2.1 先证明存在性

写 \(\zeta =(f_{ij})\)。由于光滑函数层的一阶上同调消失，取 \(g_i\in \mathcal E(V_i)\) 使 \(f_{ij}=g_j-g_i\)。各 \(d''g_i\) 粘合成 \(|\mathcal V|=\bigcup _iV_i\) 上的光滑 \((0,1)\) 形式 \(\omega \)。取紧支撑截断函数 \(\psi \)，使其在 \(|\mathcal W|\) 附近为一，并将 \(\psi \omega \) 按零延拓。

由圆盘上的 Dolbeault 引理，在每个 \(U_i^*\) 上可解 \(d''h_i=\psi \omega \)。于是 \(h_j-h_i\) 全纯；限制到较小的 \(U_i\cap U_j\) 上得到平方可积上闭链 \(\xi \)。在 \(\mathcal W\) 上，\(g_i-h_i\) 也全纯且平方可积。令 \(\eta _i=g_i-h_i\)，就有 \(\zeta =\xi +\delta \eta \)。

2.2 再取得统一估计

考虑 Hilbert 空间

\[ H=Z^1_{(2)}(\mathcal V,\mathcal O) \times Z^1_{(2)}(\mathcal U,\mathcal O) \times C^0_{(2)}(\mathcal W,\mathcal O) \]

及其闭线性子空间

\[ L=\{(\zeta ,\xi ,\eta ):\zeta =\xi +\delta \eta \text { 于 }\mathcal W\}. \]

投影 \(L\to Z^1_{(2)}(\mathcal V,\mathcal O)\)， \((\zeta ,\xi ,\eta )\mapsto \zeta \)，是连续线性满射。应用开映射定理的范数估计推论，即得式 (1)。

3 逐次逼近与有限维代表空间

存在有限维子空间 \(S\subset Z^1_{(2)}(\mathcal U,\mathcal O)\)，使任意 \(\zeta \in Z^1(\mathcal U,\mathcal O)\) 限制到 \(\mathcal W\) 后，都与 \(S\) 中某个元素同调。

证明令 \(\varepsilon =1/(2c)\)。取有限余维闭子空间 \(A\)，使

\[ \|\xi \|_{L^2(\mathcal V)} \le \varepsilon \|\xi \|_{L^2(\mathcal U)} \quad (\xi \in A), \]

并取正交补 \(S=A^\perp \)。

对任意 \(\zeta \in Z^1(\mathcal U,\mathcal O)\)，它在较小的 \(\mathcal V\) 上平方可积，记范数为 \(M\)。应用上一节，先找到 \(\zeta _0,\eta _0\)，使

\[ \zeta +\delta \eta _0=\zeta _0,\qquad \max \{\|\zeta _0\|,\|\eta _0\|\}\le cM. \]

这里把式 (1) 中的零上链取负，不改变估计。将 \(\zeta _0=\xi _0+\sigma _0\) 正交分解到 \(A\oplus S\)。

递归地，将残项 \(\xi _\nu \) 限制到 \(\mathcal V\)，再应用式 (1)，构造

\[ \xi _\nu +\delta \eta _{\nu +1} =\zeta _{\nu +1}=\xi _{\nu +1}+\sigma _{\nu +1}, \quad \xi _{\nu +1}\in A,\quad \sigma _{\nu +1}\in S. \]

因为 \(c\varepsilon =1/2\)，可以保证

\[ \max \{\|\zeta _\nu \|_{L^2(\mathcal U)}, \|\eta _\nu \|_{L^2(\mathcal W)}\} \le 2^{-\nu }cM. \]

\[ \zeta +\delta \left (\sum _{\nu =0}^k\eta _\nu \right ) =\xi _k+\sum _{\nu =0}^k\sigma _\nu . \]

由几何级数估计，\(\xi _k\to 0\)，且 \(\eta =\sum _{\nu \ge 0}\eta _\nu \)、\(\sigma =\sum _{\nu \ge 0}\sigma _\nu \) 均收敛。因 \(S\) 有限维而闭，\(\sigma \in S\)。取极限得 \(\zeta +\delta \eta =\sigma \)。

4 限制映射的像有限维

设 \(Y_1\Subset Y_2\subset X\) 为开集，其中 \(X\) 为黎曼曲面。则限制映射

\[ H^1(Y_2,\mathcal O)\longrightarrow H^1(Y_1,\mathcal O) \]

的像有限维。

证明选有限族嵌套坐标邻域

\[ W_i\Subset V_i\Subset U_i\Subset U_i^* \]

使

\[ Y_1\subset Y'=\bigcup _iW_i \subset Y''=\bigcup _iU_i\subset Y_2. \]

上一节给出 \(H^1(\mathcal U,\mathcal O)\to H^1(\mathcal W,\mathcal O)\) 的像有限维。由一阶 Leray 定理，这两个覆盖上同调可分别识别为 \(H^1(Y'',\mathcal O)\) 与 \(H^1(Y',\mathcal O)\)。原限制映射分解为

\[ H^1(Y_2,\mathcal O)\longrightarrow H^1(Y'',\mathcal O) \longrightarrow H^1(Y',\mathcal O)\longrightarrow H^1(Y_1,\mathcal O), \]

故其像也有限维。

5 紧黎曼曲面的亏格

若 \(X\) 紧，取上面的限制为恒等映射，得到

\[ g:=\dim _{\mathbb C}H^1(X,\mathcal O)<\infty . \]

以此定义 \(X\) 的亏格。由前面的计算，\(\mathbb P^1\) 的亏格为零。其逆命题“亏格为零则双全纯同构于 \(\mathbb P^1\)”被留待 Riemann–Roch 定理之后。

阅读导航： 系列目录；上一篇：有限维性、插值与消失定理；下一篇：亚纯函数插值与限制消失。