黎曼曲面笔记

有限维性、插值与消失定理

1 开映射定理的一个推论

设 \(E,F\) 为 Banach 空间，\(T:E\to F\) 为连续线性满射。则存在 \(C>0\)，使每个 \(y\in F\) 都有一个原像 \(x\in E\)，满足

\[ T(x)=y,\qquad \|x\|\le C\|y\|. \]

证明由开映射定理，单位开球 \(U\subset E\) 的像包含某个 \(V=\{y:\|y\|<\varepsilon \}\)。若 \(y=0\)，取 \(x=0\)。若 \(y\ne 0\)，令 \(y_1=\varepsilon y/(2\|y\|)\)，取 \(x_1\in U\) 使 \(T(x_1)=y_1\)。令 \(x=2\|y\|x_1/\varepsilon \)，即可取 \(C=2/\varepsilon \)。

2 Bergman 空间

对开集 \(D\subset \mathbb C\)，定义

\[ A^2(D)=\left \{f\in \mathcal O(D):\int _D|f|^2\,dA<\infty \right \}. \]

这里 \(dA=dx\,dy\) 为平面面积测度，范数和内积取自 \(L^2(D)\)。

2.1 Bergman 不等式

令 \(D_r=\{z\in D:\operatorname {dist}(z,\partial D)>r\}\)。则

\begin{equation} \|f\|_{L^\infty (D_r)} \le \frac 1{\sqrt \pi \,r}\|f\|_{L^2(D)}. \label {eq:bergman-estimate} \end{equation}

事实上，对 \(a\in D_r\)，全纯函数 \(f^2\) 的平均值公式给出

\[ f(a)^2=\frac 1{\pi r^2}\int _{\Delta (a,r)}f(z)^2\,dA(z). \]

取绝对值得

\[ |f(a)|^2 \le \frac 1{\pi r^2}\int _{\Delta (a,r)}|f(z)|^2\,dA(z) \le \frac 1{\pi r^2}\|f\|_{L^2(D)}^2. \]

2.2 \(A^2(D)\) 是 Hilbert 空间

只需证明它是 \(L^2(D)\) 的闭子空间。设 \(f_j\in A^2(D)\)，且 \(f_j\to f\) 于 \(L^2(D)\)。对任意紧集 \(K\Subset D\)，取小于其到边界距离的 \(r>0\)。由式 (1)，

\[ \|f_j-f_k\|_{L^\infty (K)} \le \frac 1{\sqrt \pi \,r}\|f_j-f_k\|_{L^2(D)}\longrightarrow 0. \]

因此该序列局部一致收敛到全纯函数，其 \(L^2\) 等价类就是 \(f\)。于是 \(A^2(D)\) 闭。

3 L² Schwarz 引理

若 \(D'\Subset D\subset \mathbb C\) 为开集，则对任意 \(\varepsilon >0\)，存在有限余维的闭子空间 \(A\subset A^2(D)\)，使

\[ \|f\|_{L^2(D')}\le \varepsilon \|f\|_{L^2(D)} \qquad (f\in A). \]

证明由 \(\overline {D'}\) 紧，可取 \(a_1,\ldots ,a_k\in D\) 和 \(r>0\)，使

\[ \Delta (a_j,r)\subset D,\qquad \overline {D'}\subset \bigcup _{j=1}^k\Delta (a_j,r/2). \]

取足够大的整数 \(n\)，令

\[ A=\{f\in A^2(D):\operatorname {ord}_{a_j}f\ge n,\ 1\le j\le k\}. \]

有限个 Taylor 系数的消失给出有限余维闭子空间， \(\operatorname {codim}A\le nk\)。

对 \(f\in A\)，在 \(a_j\) 处写

\[ f(z)=\sum _{\nu =n}^\infty c_\nu (z-a_j)^\nu . \]

极坐标积分及不同 Fourier 项的正交性给出

\[ \int _{\Delta (a_j,\rho )}|f|^2\,dA =\pi \sum _{\nu =n}^\infty \frac {|c_\nu |^2}{\nu +1}\rho ^{2\nu +2}. \]

因此

\[ \int _{\Delta (a_j,r/2)}|f|^2\,dA \le 2^{-2n-2}\int _{\Delta (a_j,r)}|f|^2\,dA. \]

对覆盖求和，得到

\[ \|f\|_{L^2(D')}^2 \le k\,2^{-2n-2}\|f\|_{L^2(D)}^2. \]

选择 \(n\) 使 \(\sqrt {k}\,2^{-n-1}\le \varepsilon \)，结论成立。

4 本章后续

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