黎曼曲面笔记

一阶 Leray 定理与消失例子

1 一阶加细映射的单射性

对层 \(\mathcal F\)，任意覆盖加细 \(\mathcal V<\mathcal U\) 诱导的映射

\[ H^1(\mathcal U,\mathcal F)\longrightarrow H^1(\mathcal V,\mathcal F) \]

是单射。

证明设上闭链 \(f=(f_{ij})\) 限制到 \(\mathcal V\) 后为余边界，即 \(f_{\tau (k)\tau (\ell )}=g_\ell -g_k\)。在 \(U_i\cap V_k\) 上定义

\[ h_i=g_k-f_{i,\tau (k)}. \]

上闭链条件给出 \(f_{i,\tau (\ell )}=f_{i,\tau (k)}+f_{\tau (k),\tau (\ell )}\)，所以这些局部定义在重叠处一致，粘合成 \(h_i\in \mathcal F(U_i)\)。在 \(U_i\cap U_j\cap V_k\) 上，

\[ h_j-h_i=f_{i,\tau (k)}-f_{j,\tau (k)}=f_{ij}. \]

故 \(f\) 已是 \(\mathcal U\) 上的余边界。

因此 \(H^1(\mathcal U,\mathcal F)\to H^1(X,\mathcal F)\) 也单射。特别地，若 \(H^1(X,\mathcal F)=0\)，则任意覆盖上的一阶上同调都为零。一般 \(q>1\) 时，加细映射未必单射。

2 一阶 Leray 定理

若 \(\mathcal U=\{U_i\}\) 是黎曼曲面 \(X\) 的开覆盖，且

\[ H^1(U_i,\mathcal F)=0\qquad \hbox {对所有 }i, \]

则

\[ H^1(X,\mathcal F)\cong H^1(\mathcal U,\mathcal F). \]

证明已有单射性，只需证明：对任意加细 \(\mathcal V=\{V_\alpha \}\)，每个 \(f\in Z^1(\mathcal V,\mathcal F)\) 都与来自 \(\mathcal U\) 的上闭链同调。固定 \(i\)。由 \(H^1(U_i,\mathcal F)=0\)，在诱导覆盖 \(\{U_i\cap V_\alpha \}\) 上可取局部截面 \(g_{i\alpha }\)，使

\[ f_{\alpha \beta }=g_{i\beta }-g_{i\alpha }. \]

在 \(U_i\cap U_j\cap V_\alpha \cap V_\beta \) 上，

\[ g_{i\alpha }-g_{j\alpha }=g_{i\beta }-g_{j\beta }. \]

于是可粘合出

\[ F_{ij}\in \mathcal F(U_i\cap U_j),\qquad F_{ij}|_{V_\alpha }=g_{i\alpha }-g_{j\alpha }. \]

由定义 \(F\in Z^1(\mathcal U,\mathcal F)\)。取加细映射 \(\tau \)，令 \(h_\alpha =g_{\tau (\alpha ),\alpha }\)，则

\[ F_{\tau (\alpha )\tau (\beta )}-f_{\alpha \beta } =h_\alpha -h_\beta . \]

所以二者相差余边界，满射性成立。

3 光滑函数与形式层的一阶上同调消失

有

\[ H^1(X,\mathcal E)=0. \]

同样的证明适用于 \(\mathcal E^{(1)}\)、\(\mathcal E^{(2)}\)、 \(\mathcal E^{(1,0)}\)、\(\mathcal E^{(0,1)}\)。

证明取局部有限覆盖 \(\mathcal U=\{U_i\}\) 和从属单位分解 \(\{\chi _k\}\)。对 \(f\in Z^1(\mathcal U,\mathcal E)\)，令

\[ g_i=\sum _k\chi _k f_{ki}. \]

每项在 \(U_i\cap U_k\) 外按零延拓；单位分解的支撑条件保证其光滑。由上闭链关系，

\[ g_j-g_i=\sum _k\chi _k(f_{kj}-f_{ki}) =\sum _k\chi _k f_{ij}=f_{ij}. \]

因此每个上闭链都是余边界。

4 圆盘上的三个消失结论

设 \(\Delta =\{|z|<R\}\)，\(0<R\le +\infty \)。分别以 \(\underline {\mathbb C}\)、\(\underline {\mathbb Z}\) 表示局部常值函数层，则

\[ H^1(\Delta ,\underline {\mathbb C})=0,\qquad H^1(\Delta ,\underline {\mathbb Z})=0,\qquad H^1(\Delta ,\mathcal O)=0. \]

4.1 常值复数层

取 \(c\in Z^1(\mathcal U,\underline {\mathbb C})\)。由光滑层的消失，可写 \(c_{ij}=g_j-g_i\)，其中 \(g_i\in \mathcal E(U_i)\)。因为 \(dc_{ij}=0\)，各 \(dg_i\) 粘合为闭一形式 \(\omega \)。由 Poincaré 引理，存在 \(g\) 满足 \(dg=\omega \)。令 \(b_i=g_i-g\)，则 \(db_i=0\)，故 \(b_i\) 局部常值，并且 \(c_{ij}=b_j-b_i\)。

4.2 常值整数层

取 \(a\in Z^1(\mathcal U,\underline {\mathbb Z})\)。由上一结论，可写 \(a_{ij}=c_j-c_i\)，其中 \(c_i\) 局部常值且取复数值。因为

\[ e^{2\pi i(c_j-c_i)}=1, \]

各 \(e^{2\pi i c_i}\) 粘合为圆盘上的非零局部常值函数 \(b\)，因圆盘连通，\(b\) 是常数。选 \(c\in \mathbb C\) 使 \(b=e^{2\pi i c}\)，则 \(b_i=c_i-c\) 取整数值，且 \(a_{ij}=b_j-b_i\)。

4.3 全纯函数层

取 \(f\in Z^1(\mathcal U,\mathcal O)\)，先在光滑层中写 \(f_{ij}=g_j-g_i\)。由于 \(d''f_{ij}=0\)，各 \(d''g_i\) 粘合为 \(\omega \in \mathcal E^{(0,1)}(\Delta )\)。 Dolbeault 引理给出 \(g\in \mathcal E(\Delta )\) 满足 \(d''g=\omega \)。令 \(h_i=g_i-g\)，则 \(h_i\) 全纯，且 \(f_{ij}=h_j-h_i\)。

5 球面上的全纯函数层

有 \(H^1(\mathbb P^1,\mathcal O)=0\)。取

\[ U_1=\mathbb P^1\setminus \{\infty \},\qquad U_2=\mathbb P^1\setminus \{0\}. \]

两者均同构于 \(\mathbb C\)，所以由一阶 Leray 定理，只需计算这个两开集覆盖的一阶上同调。

一个上闭链由 \(f_{12}\in \mathcal O(\mathbb C^*)\) 给出。在穿孔平面上作 Laurent 展开：

\[ f_{12}(z)=\sum _{j\in \mathbb Z}a_jz^j. \]

正幂部分在 \(U_1\) 上全纯，负幂部分在 \(U_2\) 上全纯。因此 \(f_{12}\) 可写为两个局部全纯函数之差，是余边界。

6 与后文的联系

黎曼曲面上主要研究 \(H^1(X,\mathcal O)\)，以及随后出现的 \(H^1(X,\Omega )\)。由后续 Dolbeault 表示，\(H^q(X,\mathcal O)=0\) 对 \(q\ge 2\) 成立；

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