1 上链复形
设 \(\mathcal F\) 为拓扑空间 \(X\) 上的层， \(\mathcal U=\{U_i:i\in I\}\) 为局部有限开覆盖。 定义
\[ C^q(\mathcal U,\mathcal F) =\prod _{i_0<\cdots <i_q}\mathcal F(U_{i_0}\cap \cdots \cap U_{i_q}). \]
这是 \(q\) 阶上链群。约定上链按指标交替延拓， 重复指标对应的分量为零。
定义上边缘算子
\[ \delta :C^q(\mathcal U,\mathcal F)\longrightarrow C^{q+1}(\mathcal U,\mathcal F) \]
为
\[ (\delta \sigma )_{i_0\cdots i_{q+1}} =\sum _{j=0}^{q+1}(-1)^j \left .\sigma _{i_0\cdots \widehat {i_j}\cdots i_{q+1}} \right |_{U_{i_0}\cap \cdots \cap U_{i_{q+1}}}. \]
在 \(\delta ^2\) 的展开中，每一对被略去的指标出现两次， 两项的符号相反，所以 \(\delta ^2=0\)。 因此 \((C^\bullet (\mathcal U,\mathcal F),\delta )\) 是上链复形。
记
\[ Z^q=\ker \delta ,\qquad B^q=\operatorname {im}\delta ,\qquad H^q(\mathcal U,\mathcal F)=Z^q(\mathcal U,\mathcal F)/B^q(\mathcal U,\mathcal F). \]
其中 \(Z^q\) 为上闭链群，\(B^q\) 为上边缘群。 特别地，\(H^0(X,\mathcal F)\) 就是整体截面群 \(\mathcal F(X)\)。
2 覆盖加细
若另一覆盖 \(\mathcal V=\{V_j:j\in J\}\) 满足：每个 \(V_j\) 都包含在某个 \(U_i\) 中，则称 \(\mathcal V\) 加细 \(\mathcal U\)，记 \(\mathcal V<\mathcal U\)。 选择加细映射 \(\tau :J\to I\)，使 \(V_j\subset U_{\tau (j)}\)，定义
\[ (t^{\mathcal U}_{\mathcal V}\sigma )_{j_0\cdots j_q} =\left .\sigma _{\tau (j_0)\cdots \tau (j_q)} \right |_{V_{j_0}\cap \cdots \cap V_{j_q}}. \]
它与 \(\delta \) 交换，因此诱导上同调群之间的同态。
2.1 与加细映射的选择无关
若 \(\tau _1,\tau _2:J\to I\) 是两个加细映射，定义
\[ (h_q\sigma )_{j_0\cdots j_{q-1}} =\sum _{r=0}^{q-1}(-1)^r \left .\sigma _{\tau _1(j_0)\cdots \tau _1(j_r)\, \tau _2(j_r)\cdots \tau _2(j_{q-1})} \right |_{V_{j_0}\cap \cdots \cap V_{j_{q-1}}}. \]
展开后，中间项两两抵消，得到
\[ \delta h+h\delta =t_{\tau _2}-t_{\tau _1}. \]
所以两个加细映射链同伦，在上同调上诱导同一个映射。
3 取正向极限
为消除对开覆盖的依赖，定义
\[ \check H^q(X,\mathcal F) =\varinjlim _{\mathcal U}H^q(\mathcal U,\mathcal F). \]
具体地，取所有 \(H^q(\mathcal U,\mathcal F)\) 的不交并， 若两个元素在某个公共加细上具有相同像，就将它们等同。
对于分别来自两个覆盖的元素，先限制到公共加细，再在那里相加； 所得结果与代表元和公共加细的选择无关。 后文为简洁记作 \(H^q(X,\mathcal F)\)。
4 Leray 定理的形式
若开覆盖 \(\mathcal U\) 对 \(\mathcal F\) 是无上同调覆盖，即每个非空有限重叠满足
\[ H^q(U_{i_0}\cap \cdots \cap U_{i_p},\mathcal F)=0 \qquad (q>0), \]
则 Leray 定理给出
\[ \check H^q(X,\mathcal F)\cong H^q(\mathcal U,\mathcal F). \]
5 符号说明
本页统一采用 \((\delta c)_{ij}=c_j-c_i\)。
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