黎曼曲面笔记

层与上同调

1 预层与层

设 \(X\) 是拓扑空间。一个 Abel 群预层 \(\mathcal F\) 包含以下数据：

每个开集 \(U\subset X\) 对应一个 Abel 群 \(\mathcal F(U)\)；
每个包含关系 \(V\subset U\) 对应限制同态 \(\rho _{UV}:\mathcal F(U)\to \mathcal F(V)\)。

它们满足

\[ \mathcal F(\varnothing )=0,\qquad \rho _{UU}=\operatorname {id},\qquad \rho _{UW}=\rho _{VW}\circ \rho _{UV}\quad (W\subset V\subset U). \]

常把 \(\rho _{UV}(s)\) 写为 \(s|_V\)。

若预层还满足以下两条公理，就称为层：

恒同公理：若 \(\{V_i\}\) 覆盖 \(U\)，且 \(s|_{V_i}=0\) 对所有 \(i\) 成立，则 \(s=0\)。
粘合公理：若 \(s_i\in \mathcal F(V_i)\) 在所有重叠处相等，则存在 \(s\in \mathcal F(U)\) 满足 \(s|_{V_i}=s_i\)。

由恒同公理，粘合后的截面唯一。

1.1 黎曼曲面上的例子

连续函数层 \(\mathcal C\)、光滑函数层 \(\mathcal E\)，以及光滑形式层 \(\mathcal E^{(1)}\)、\(\mathcal E^{(1,0)}\)、\(\mathcal E^{(0,1)}\)、 \(\mathcal E^{(2)}\) 都以通常的函数或形式限制为限制映射。

全纯函数层 \(\mathcal O\)、全纯一形式层 \(\Omega \)、亚纯函数层 \(\mathcal M\) 和亚纯一形式层 \(\mathcal M^{(1)}\) 也是层。无零点全纯函数在乘法下组成层 \(\mathcal O^*\)；非零亚纯函数相应给出 \(\mathcal M^*\)。

2 茎

对 \(a\in X\)，定义

\[ \mathcal F_a=\varinjlim _{U\ni a}\mathcal F(U). \]

具体而言，若 \(f\in \mathcal F(U)\)、\(g\in \mathcal F(V)\)，且 \(a\in U\cap V\)，则

\[ f\sim _a g \quad \Longleftrightarrow \quad \exists \,a\in W\subset U\cap V,\quad f|_W=g|_W. \]

商集上的自然群结构给出茎 \(\mathcal F_a\)。记 \(f\) 在 \(a\) 处的芽为 \(f_a\)。

例如，对 \(a\in \mathbb C\)，全纯函数芽由其收敛 Taylor 展开唯一确定，故 \(\mathcal O_a\cong \mathbb C\{z-a\}\)，即收敛幂级数环。

3 层态射与茎上的判别

预层态射 \(\varphi :\mathcal F\to \mathcal G\) 是一族群同态 \(\varphi (U):\mathcal F(U)\to \mathcal G(U)\)，与限制映射交换：

\[ \rho ^{\mathcal G}_{UV}\circ \varphi (U) =\varphi (V)\circ \rho ^{\mathcal F}_{UV}. \]

它诱导每一点处的同态 \(\varphi _a:\mathcal F_a\to \mathcal G_a\)。

对于层，\(\varphi \) 是同构，当且仅当每个 \(\varphi _a\) 都是同构。证明中，截面映射的单射性由恒同公理给出，满射性由局部提升与粘合公理给出。

3.1 预层中的反例

令 \(X=\{p,q\}\) 带离散拓扑。定义预层 \(\mathcal F(X)=\mathbb Z\)，而其他开集上的群均为零；再令 \(\mathcal G=0\)。零态射 \(\mathcal F\to \mathcal G\) 在每个茎上都是同构，但不是预层同构。因此上述判别必须使用层公理。

4 核、像、余核与层化

在预层范畴中可逐开集定义

\[ (\ker \varphi )(U)=\ker \varphi (U),\quad (\operatorname {im}\varphi )(U)=\operatorname {im}\varphi (U),\quad (\operatorname {coker}\varphi )(U)=\operatorname {coker}\varphi (U). \]

若 \(\varphi \) 是层态射，则核预层已经是层，但逐开集的像和余核一般不是层。

例如，考虑 \(\exp :\mathcal O\to \mathcal O^*\)。在 \(\mathbb C^*\) 上，坐标函数 \(z\) 局部可以取全纯对数，所以局部属于指数映射的像；但不存在全局单值全纯对数，因此它不属于 \(\exp \mathcal O(\mathbb C^*)\)。这说明像预层不满足粘合公理。在商预层 \(\mathcal O^*/\exp \mathcal O\) 中， \([z]\ne 0\) 却局部为零，说明余核预层不满足恒同公理。

4.1 相伴层的泛性质

预层 \(\mathcal F\) 的相伴层是一对 \((\mathcal F^+,\theta )\)，其中 \(\mathcal F^+\) 是层，\(\theta :\mathcal F\to \mathcal F^+\) 为预层态射，并且对任意层 \(\mathcal G\) 和态射 \(\varphi :\mathcal F\to \mathcal G\)，存在唯一层态射 \(\psi :\mathcal F^+\to \mathcal G\)，使

\[ \varphi =\psi \circ \theta . \]

4.2 相伴层的构造

令 \(\mathcal F^+(U)\) 为所有映射

\[ s:U\longrightarrow \bigsqcup _{p\in U}\mathcal F_p \]

所成的群，要求 \(s(p)\in \mathcal F_p\)，且每点附近 \(s\) 可由同一局部截面的芽表示：对每个 \(p\in U\)，存在 \(p\in V\subset U\) 和 \(t\in \mathcal F(V)\)，使 \(s(q)=t_q\) 对所有 \(q\in V\) 成立。自然限制使 \(\mathcal F^+\) 成为层，且

\[ \theta (U)(t):p\longmapsto t_p. \]

要验证泛性质，对局部表示 \(s|_V=(t_q)_{q\in V}\)，定义 \(\psi (s)|_V=\varphi (t)\)。不同局部表示在足够小邻域内相同，其像因而相同；由层的粘合公理得到 \(\psi (s)\)。唯一性也由局部表示和恒同公理得到。

5 茎空间的观点

定义茎空间

\[ \operatorname {Sp\acute e}(\mathcal F) =\bigsqcup _{p\in X}\mathcal F_p,\qquad \pi :\operatorname {Sp\acute e}(\mathcal F)\to X. \]

每个局部截面 \(s\in \mathcal F(U)\) 给出 \(\bar s:U\to \operatorname {Sp\acute e}(\mathcal F)\)， \(\bar s(p)=s_p\)，且 \(\pi \circ \bar s=\operatorname {id}_U\)。给茎空间赋予使所有这些截面连续的最强拓扑；相伴层 \(\mathcal F^+(U)\) 就可视为 \(\pi \) 在 \(U\) 上的连续截面。

5.1 恒同原理与 Hausdorff 性

称预层 \(\mathcal F\) 满足恒同原理，如果在任意区域 \(Y\subset X\) 上，两个截面在某一点的芽相等就推出它们在整个 \(Y\) 上相等。黎曼曲面上的 \(\mathcal O,\mathcal M,\Omega ,\mathcal M^{(1)}\) 满足该性质，而光滑函数与一般光滑形式层不满足。

若 \(X\) 局部连通且 Hausdorff，层 \(\mathcal F\) 满足恒同原理，则 \(\operatorname {Sp\acute e}(\mathcal F)\) 是 Hausdorff 空间。对两个不同的芽：

若基点不同，先用 \(X\) 中不交邻域分离基点，再取局部截面的像。
若基点相同，在一个连通邻域上选取代表截面 \(s,t\)。它们的截面像不交，否则某处的芽相等，恒同原理将推出 \(s=t\)，矛盾。

6 层范畴中的像与商

层范畴中的像、余核定义为相应预层的相伴层。态射 \(\varphi \) 单，当且仅当所有截面映射单，也当且仅当所有茎映射单。态射 \(\varphi \) 满，当且仅当所有茎映射满；这不要求每个 \(\varphi (U)\) 都满。

若 \(\mathcal F'\subset \mathcal F\) 为子层，商层 \(\mathcal F/\mathcal F'\) 是 \(U\mapsto \mathcal F(U)/\mathcal F'(U)\) 的相伴层。逐茎可验证

\[ \operatorname {im}\varphi \cong \mathcal F/\ker \varphi ,\qquad \operatorname {coker}\varphi \cong \mathcal G/\operatorname {im}\varphi . \]

7 练习：有界全纯函数预层不是层

令 \(\mathcal B(U)\) 为 \(U\) 上有界全纯函数所成的群。在穿孔圆盘 \(\Delta ^*=\{0<|z|<1\}\) 上，函数 \(1/z\) 无界，但在一族避开原点的相互重叠环域上有界。例如取

\[ U_n=\left \{\frac 1{n+2}<|z|<\frac 1n\right \},\qquad n\ge 1. \]

这些 \(U_n\) 覆盖 \(\Delta ^*\)，局部截面 \(1/z|_{U_n}\) 彼此一致，却不能粘合为 \(\mathcal B(\Delta ^*)\) 中的截面。

8 本章后续

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