黎曼曲面笔记

黎曼曲面的基本概念

1 定义与基本例子

一维连通复流形称为黎曼曲面。

1.1 复平面、单位圆盘与黎曼球面

复平面 \(\mathbb C\)、单位圆盘 \(\mathbb D\) 和黎曼球面 \(\mathbb P^1\) 都是黎曼曲面。单值化定理断言：每个单连通黎曼曲面都双全纯同构于 \(\mathbb P^1\)、\(\mathbb C\) 或 \(\mathbb D\) 中的一个。

把 \(\mathbb P^1=\mathbb C\cup \{\infty \}\) 看作复平面的单点紧化。取

\[ U_1=\mathbb C,\qquad U_2=\mathbb C^*\cup \{\infty \}. \]

坐标分别为

\[ \varphi _1:U_1\longrightarrow \mathbb C,\quad z\longmapsto z, \qquad \varphi _2:U_2\longrightarrow \mathbb C,\quad z\longmapsto z^{-1}, \quad \varphi _2(\infty )=0. \]

重叠部分上的坐标变换为 \(z\mapsto z^{-1}\)，是双全纯映射。因此 \(\mathbb P^1\) 是紧黎曼曲面。

1.2 复环面

设

\[ \Gamma =\mathbb Z\gamma _1+\mathbb Z\gamma _2\subset \mathbb C, \]

其中 \(\gamma _1,\gamma _2\) 在 \(\mathbb R\) 上线性无关。商空间 \(T=\mathbb C/\Gamma \) 带商拓扑，是紧连通空间。记商映射为 \(\pi :\mathbb C\to T\)。

取满足 \(\pi |_V\) 单射的开集 \(V\subset \mathbb C\)，令

\[ U=\pi (V),\qquad \varphi _U=(\pi |_V)^{-1}:U\longrightarrow V. \]

这些 \(U\) 覆盖 \(T\)。若 \(U_1\cap U_2\ne \varnothing \)，坐标变换 \(\psi =\varphi _{U_2}\circ \varphi _{U_1}^{-1}\) 满足

\[ \pi (\psi (z))=\pi (z),\qquad \psi (z)-z\in \Gamma . \]

由于 \(\Gamma \) 离散，而 \(\psi (z)-z\) 连续，它在每个连通分支上为常数。因此 \(\psi \) 在每个连通分支上是平移，特别地是全纯的。这些坐标给 \(T\) 赋予黎曼曲面结构。

1.3 另外两个事实

黎曼曲面 \(X\) 的任意区域 \(Y\subset X\)，带诱导的复结构，也是黎曼曲面。
Korn–Lichtenstein 定理：任意可定向光滑曲面都可赋予复结构，从而成为黎曼曲面。

2 全纯函数与全纯映射

设 \(X\) 是黎曼曲面。函数 \(f:X\to \mathbb C\) 称为全纯函数，如果对任意局部坐标 \(\varphi :U\to V\subset \mathbb C\)， \(f\circ \varphi ^{-1}\) 都全纯。记全纯函数环为 \(\mathcal O(X)\)。

设 \(X,Y\) 为黎曼曲面，连续映射 \(f:X\to Y\) 称为全纯映射，如果对局部坐标

\[ \varphi _1:U_1\to V_1,\qquad \varphi _2:U_2\to V_2,\qquad f(U_1)\subset U_2, \]

坐标表示 \(\varphi _2\circ f\circ \varphi _1^{-1}\) 全纯。记全体这样的映射为 \(\mathcal O(X,Y)\)。若 \(f\) 双射，且 \(f,f^{-1}\) 均全纯，则称 \(f\) 为双全纯同构。

2.1 可去奇点定理

设 \(p\in U\subset X\)，其中 \(U\) 是开邻域。若 \(f\in \mathcal O(U\setminus \{p\})\) 在 \(p\) 附近有界，则 \(f\) 可全纯延拓到 \(U\)。

2.2 恒同原理

若 \(f,g\in \mathcal O(X,Y)\)，且集合

\[ A=\{x\in X:f(x)=g(x)\} \]

在 \(X\) 中有聚点，则 \(f=g\)。

证明令 \(G\) 为 \(f\) 与 \(g\) 在某个邻域内相等的点的集合。由定义，\(G\) 是开集。若 \(b\in \partial G\cap X\)，连续性给出 \(f(b)=g(b)\)。在 \(b\) 及这个共同像点附近取坐标，适当缩小邻域后，

\[ \widetilde f=\varphi _2\circ f\circ \varphi _1^{-1}, \qquad \widetilde g=\varphi _2\circ g\circ \varphi _1^{-1} \]

是同一个平面区域上的全纯函数。由平面上的恒同原理， \(\widetilde f=\widetilde g\)，故 \(b\in G\)。于是 \(G\) 也是闭集。集合 \(A\) 的聚点同样由局部恒同原理属于 \(G\)，所以 \(G\ne \varnothing \)。由 \(X\) 连通，\(G=X\)。

3 亚纯函数

亚纯函数可以理解为：在某个开集 \(X'\subset X\) 上全纯的函数 \(f\)，其中 \(X\setminus X'\) 是离散集，并且这些遗漏点全是 \(f\) 的极点，即对每个 \(p\in X\setminus X'\)，有

\[ |f(z)|\longrightarrow \infty \qquad (z\longrightarrow p). \]

记全体亚纯函数为 \(\mathcal M(X)\)。

例如，多项式

\[ f(z)=z^n+a_1z^{n-1}+\cdots +a_n \]

在 \(\mathbb C\) 上全纯，在无穷远处有极点，因此属于 \(\mathcal M(\mathbb P^1)\)。

3.1 亚纯函数与到黎曼球面的映射

每个 \(f\in \mathcal M(X)\) 都可在极点处取值 \(\infty \)，从而视为 \(\mathcal O(X,\mathbb P^1)\) 的元素。反过来，每个 \(f\in \mathcal O(X,\mathbb P^1)\)，或者恒等于 \(\infty \)，或者定义一个亚纯函数。

证明对亚纯函数，在极点附近使用球面上无穷远点的坐标 \(w\mapsto 1/w\)。坐标表示在去心邻域内全纯且趋于零，由可去奇点定理可全纯延拓。所以得到的球面值映射全纯。

反过来，若 \(f:X\to \mathbb P^1\) 全纯，由恒同原理，或者 \(f\equiv \infty \)，或者 \(f^{-1}(\infty )\) 是离散集。后一种情形中，球面坐标说明这些点是 \(f\) 的极点。

4 全纯映射的局部形态

设 \(f\in \mathcal O(X,Y)\) 非恒定，\(a\in X\)，\(b=f(a)\)。存在整数 \(k\ge 1\)，以及分别以 \(a,b\) 为中心的局部坐标 \(\varphi ,\psi \)，使得

\[ \varphi (a)=\psi (b)=0,\qquad \psi \circ f\circ \varphi ^{-1}(z)=z^k. \]

称 \(k\) 为 \(f\) 在 \(a\) 处的重数。

证明先取任意满足中心条件的局部坐标。坐标表示可写为

\[ \psi _1\circ f\circ \varphi _1^{-1}(z)=z^k h(z),\qquad h(0)\ne 0. \]

缩小定义域后，\(h\) 存在单值全纯 \(k\) 次根 \(g\)。于是坐标表示为 \((zg(z))^k\)。因为 \(g(0)\ne 0\)，\(z'=zg(z)\) 是零点附近的合法坐标变换，从而得到所需形态。

4.1 推论

非恒定全纯映射是开映射。
若 \(f\in \mathcal O(X,Y)\) 单射，则 \(f:X\to f(X)\) 是双全纯同构。
非恒定全纯函数的模不能在 \(X\) 内取得最大值。

第三条的证明如下：若在 \(a\) 处取得最大模 \(R\)，则

\[ f(X)\subset K=\{z\in \mathbb C:|z|\le R\}. \]

由开映射性质，\(f(X)\subset K^\circ \)，与 \(f(a)\in \partial K\) 矛盾。

5 紧黎曼曲面上的函数

若 \(X\) 紧，\(f\in \mathcal O(X,Y)\) 非恒定，则 \(f\) 为满射，而且 \(Y\) 紧。事实上，\(f(X)\) 因紧性而闭，又因开映射性质而开；由 \(Y\) 连通，\(f(X)=Y\)。

5.1 Liouville 定理

紧黎曼曲面上的全纯函数必为常数。否则上一结论将给出 \(f(X)=\mathbb C\)，与像的紧性矛盾。

5.2 代数基本定理

每个非常数复多项式都有复根。将多项式 \(p\) 看作 \(\mathbb P^1\to \mathbb P^1\) 的非恒定全纯映射，它必为满射。又 \(p^{-1}(\infty )=\{\infty \}\)，所以 \(p^{-1}(0)\cap \mathbb C\ne \varnothing \)。

6 亚纯函数的例子

6.1 球面上的亚纯函数就是有理函数

有

\[ \mathcal M(\mathbb P^1)=\{\text {有理函数}\}. \]

取 \(f\in \mathcal M(\mathbb P^1)\)。它的极点集有限。可先假设 \(\infty \) 不是极点；否则对 \(f^{-1}\) 作同样处理。设有限极点为 \(a_1,\ldots ,a_n\)，在 \(a_\nu \) 处的主部为

\[ f_\nu (z)=\sum _{j=-k_\nu }^{-1}c_j^{(\nu )}(z-a_\nu )^j. \]

则 \(f-\sum _\nu f_\nu \) 在整个球面上全纯，因此为常数。通分即得到 \(f\) 为有理函数。

6.2 环面与椭圆函数

设 \(\Gamma =\mathbb Z\omega _1+\mathbb Z\omega _2\)。亚纯函数 \(f\in \mathcal M(\mathbb C)\) 称为 \(\Gamma \)-双周期的，如果

\[ f(z+\omega _1)=f(z),\qquad f(z+\omega _2)=f(z). \]

商映射给出对应

\[ \mathcal M(\mathbb C/\Gamma ) \cong \{\Gamma \text {-双周期亚纯函数}\}. \]

因为 \(\mathcal O(\mathbb C/\Gamma )=\mathbb C\)，双周期全纯函数只能是常数。非恒定的环面亚纯函数，作为到 \(\mathbb P^1\) 的映射必为满射。

6.3 Weierstrass \(\wp \) 函数

定义

\begin{equation} \wp (z)=\frac 1{z^2} +\sum _{\omega \in \Gamma \setminus \{0\}} \left (\frac 1{(z-\omega )^2}-\frac 1{\omega ^2}\right ). \label {eq:weierstrass} \end{equation}

当 \(|\omega |\ge 2|z|\) 时，

\[ \left |\frac 1{(z-\omega )^2}-\frac 1{\omega ^2}\right | =\left |\frac {z(2\omega -z)}{(z-\omega )^2\omega ^2}\right | \le \frac {C}{|\omega |^3}, \]

其中在固定紧集上可选取统一的常数 \(C\)。又因为 \(\omega _1/\omega _2\notin \mathbb R\)，

\[ |m_1\omega _1+m_2\omega _2|\asymp |m_1|+|m_2|, \]

从而

\[ \sum _{\omega \ne 0}\frac 1{|\omega |^3} \asymp \sum _{n=1}^{\infty } \sum _{|m_1|+|m_2|=n}\frac 1{n^3} \asymp \sum _{n=1}^{\infty }\frac 1{n^2}<\infty . \]

这说明式 (1) 在避开格点的紧集上一致收敛。

逐项求导得到

\[ \wp '(z)=-2\sum _{\omega \in \Gamma }\frac 1{(z-\omega )^3}. \]

同样的估计保证收敛；平移求和指标可见 \(\wp '\) 双周期。于是 \(\wp (z+\omega _i)-\wp (z)\) 是常数。另一方面，\(\wp \) 是偶函数， \(\wp (\omega _i/2)=\wp (-\omega _i/2)\)，故该常数为零。因此 \(\wp \) 是一个双周期亚纯函数。

一般黎曼曲面上非恒定亚纯函数的存在性并不平凡。

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